На чтение: ≈ 20 мин.На первый взгляд может показаться, что учителя математики по сравнению со своими коллегами – историками и словесниками находятся в более выгодном положении. У математиков есть определенный набор задач, отлаженная схема подготовки. Следует несколько разочаровать сторонников этого мнения, поскольку не все так безоблачно. Какие же проблемы волнуют учителей математики в преддверии итоговой аттестации? Их несколько. И обо всем по порядку.
Как “привязать” учебник
Большинство учеников 10-11-х классов изучают математику по учебнику А.Н.Колмогорова “Алгебра и начала анализа”, первое издание которого вышло в свет более 15 лет назад. С тех пор изменилось многое: программа по математике, учебный план, требования к итоговой аттестации. В последние годы появились альтернативные учебники. Однако теоретический и задачный материал новых пособий в основном остался в старом учебно-методическом русле. Взять хотя бы самые распространенные сейчас дидактические материалы по алгебре и началам анализа, изданные в 1997 году (авторы: Б.М.Ивлев, С.М.Саакян, С.И.Шварцбурд). Они ориентированы на более ранние варианты основного учебника и не в полной мере учитывают его содержание. То же самое можно сказать и в отношении экзаменационных вариантов. Упомянутые материалы рассчитаны на текущую отработку базовых навыков и мало предназначены для целенаправленной подготовки к экзамену.
Получается, что ни учебник, ни дидактические материалы в целом не содержат системы задач, способствующей успешной подготовке к итоговой аттестации. Учебник слишком академичен, перенасыщен теорией, которая вряд ли понадобится в полном объеме на экзамене. Для того чтобы учителю подготовить школьников к итоговому экзамену, надо творчески подойти к использованию учебника и методических материалов. Необходимо учесть то обстоятельство, что многие разделы учебника (судя по опыту прошлых лет) вряд ли войдут в экзаменационную работу. Среди них приближенные вычисления с использованием производной функции, простейшие дифференциальные уравнения, гармонические колебания, нахождение объемов тел вращения с помощью определенного интеграла и др. С учетом этого повторительный материал учебника должен согласовываться в процессе подготовки к экзамену c основными положениями базовых стандартов, которые опубликованы в ? 5 журнала “Математика в школе” за 1998 год. Кроме того, упражнения учебника надо отбирать, имея в виду задачи бывших экзаменационных вариантов, ежегодно публикуемых в различных сборниках. Кстати, последний такой сборник ? 6 – приложение к журналу “Математика в школе” за 1997 год был менее удачен по сравнению с другими.
Итак, учителю необходимо выработать свою собственную тактику к заключительному смотру знаний.
Как выстроить систему задач?
Для начала проанализируем экзаменационные работы по алгебре и началам анализа за прошедшие годы. Рассматривая тематический список задач, будем выбирать их не только с точки зрения учителя, но и математика. Определим примерную вероятность появления тех или иных задач в аттестационной работе. В оставшееся время невозможно решить все задачи. Нетрудно заметить, что чаще всего на экзамене предлагаются различные виды уравнений: тригонометрические, иррациональные, показательные, логарифмические. С такой же вероятностью следует ожидать задачи на преобразование тригонометрических выражений, показательные и логарифмические неравенства и системы уравнений, задания на исследование и построение графиков функций, нахождение площадей фигур. В последние 3-4 года часто стали включать в экзаменационную работу задачи с параметрами (их практически нет в учебнике).
Итак, в результате системного анализа содержания выстраивается некое базовое ядро задачного пространства. Учителю же надо отобрать задачи, создавая собственный “золотой запас”, который направлен как на детальное, так и на комплексное повторение. На экзамене именно комплексные нетрадиционные задания вызывают затруднения школьников, если не сказать больше – многие с ними не могут справиться. Подобные упражнения надо не только постоянно решать на уроках, но и по возможности стараться включать в текущие контрольные работы. Речь идет о 5-6-х задачах экзаменационного варианта. Они, как правило, нестандартны по содержанию и несут комплексную нагрузку. В последние два года одиннадцатиклассникам предлагается задача, в которой требуется выполнить оценку значения выражения, используя свойство возрастания или убывания функции. Например:
Решите неравенство:
(1997 год).
Вряд ли каждого ученика можно научить решать такие задачи, но с их помощью удается отрабатывать большое количество базовых навыков, контролировать степень усвоения материала на более глубоком уровне. В процессе подготовки к экзамену важно не только обеспечить повторение алгоритмов и схем решения, но и учить школьников думать. Экзаменационная работа проверяет практические навыки учеников, их умение действовать в нестандартных ситуациях. Такие необычные случаи возникают в решении именно двух последних задач (иногда бывает, что и другие задачи преподносят ученикам сюрпризы). Эти задачи резко отличаются по фабуле и содержанию от привычных, требуют от учеников глубины и гибкости мышления, широты математического кругозора. Очень жаль, что в современных учебниках нет даже набора примерных задач, не говоря уже об их устойчивой системе. А ведь наличие такого рода задач в учебнике сделало бы его богаче, готовило бы к комплексному восприятию экзаменационной работы. Если бы авторы ежегодных итоговых вариантов проявили некоторое усердие и больше издавали пособий, готовящих к экзамену, а не демонстрирующих уже имеющиеся задачи, то от этого выиграли бы многие, и прежде всего дети.
Что же еще надо учесть при формировании системы предэкзаменационных задач? Полезно включить задачи, которые имеют “подводные камни” – уязвимые места в условии, неожиданные повороты решения, которые без соответствующего опыта подготовки могут привести ученика к ошибке. В качестве примера можно взять уравнение:
(3х2-4х-7)log3(2-х)=0.
В ходе решения одиннадцатиклассник должен использовать одновременно и свойство логарифмической функции, и условие равенства нулю произведения нескольких множителей. И, для того чтобы избежать ошибок, ученик должен привыкнуть к комбинированным упражнениям, его мышление должно развиваться не только в задачном пространстве учебника, но и других пособий. А учителю нужно собирать, систематизировать и комбинировать задачный материал. Кстати говоря, творчески мыслящие педагоги, для которых традиционно сложившаяся форма проведения экзамена в 11-м классе – не догма, ищут другие формы проведения аттестации.
Новые подходы
В последние 7-8 лет сформировались определенное содержание и структура экзаменационного варианта. Он включает в себя 6 задач, из которых для получения отличной оценки надо решить любые 5. Из года в год составители контрольных работ меняют темы заданий с тем, чтобы проверить ученика на новом материале. Но каждый раз контрольную работу пишут уже другие школьники. И получается, что экзамен проверяет лишь несколько блоков учебных задач. Вряд ли такой контроль может претендовать на полноту и всесторонность. И все-таки стоит ли менять сложившуюся форму проверки и устоявшиеся традиции? На этот вопрос существуют разные точки зрения, что свидетельствует об актуальности обозначенной проблемы.
В отличие от многих регионов России, где экзамен в 11-м классе проходил по привычной схеме, в Санкт-Петербурге структура итоговой работы выглядела иначе. Она включала в себя 4 сюжета, каждый из которых состоял из 4 пунктов. Оценка “5” выставлялась ученику, выполнившему 3 сюжета (10 пунктов из 12). Приведем далее текст этой экзаменационной работы.
1. Дана функция
f(x) = sin3x-cos3x – sinx.
а) Докажите, что
= 2sin2x-1.
б) Решите уравнение f(x) =0.
в) Упростите выражение
.
г) Решите неравенство
< 0 на отрезке [-/4;/4].
2. Дана функция
f(x)=log1/2(x2-4x + 3).
а) Найдите область определения функции y=f(x).
б) Решите уравнение
.
в) Решите неравенство
f(x)>f(х+2)-1.
г) Выясните, при каких значениях параметра а уравнение f(x)=f(a) имеет решения.
3. Дана функция f(x) = x(3-x2).
а) Напишите уравнение касательной к графику функции y=f(x) в его точке с абсциссой x0=1.
б) Постройте график функции y=f(x).
в) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), прямой y= , осью Oy и лежащей в первой координатной четверти.
г) Длина бокового ребра правильной четырехугольной пирамиды равнасм. Найдите наибольший объем такой пирамиды.
4. Даны функции
и g(x) = x – 2.
а) Найдите область определения функции y = .
б) Решите уравнение f(x) = g(x).
в) Сравните числа
пf(4) – g(4)п и пf(6)- g(6)п .
г) Решите неравенство
0.
(“Задачи письменного экзамена по математике за курс средней школы”, М., “Школа-Пресс”, 1997 г.) Содержание обширнее, чем обычный вариант, и проверяет больший объем учебных навыков. Кроме того, новая форма экзаменационной работы дает ученикам больше возможности выбора необходимого минимума для получения положительной оценки. Важно отметить и другое – эксперимент, проводимый в северной столице, – одна из немногих попыток решения проблем, связанных с подготовкой и проведением экзамена по алгебре и началам анализа.
Другой нетрадиционный подход сдачи экзамена был использован в 1997 году в некоторых школах Московской области. Главное отличие структуры текста экзаменационной работы заключалось в том, что она составлена по такому же принципу, как и работа в 9-м классе. Из 10 предложенных заданий 7 первых ориентированы на минимумы содержания образования, а три остальных имеют повышенный уровень требований. Далее следует один из вариантов работы.
1. Найдите область определения функции
2. Решите уравнение
sin3x-cos(/2 + 3x) = -1.
3. Найдите , если
.
4. Решите графически уравнение
(1/2)x = -x + 1.
5. Вычислите .
6. Решите неравенство
.
7. Решите уравнение .
8. Найдите критические (стационарные) точки функции
f(x) = 3x + 5cosx-sin2x.
9. Найдите площадь фигуры, ограниченной линией .
10. Решите уравнение
.
(Вариант приведен из того же источника).
Такой подход к составлению работы вызвал одобрение многих учителей и учеников. Большинство высказались за продолжение подобного эксперимента. Еще одним положительным итогом стало предложение педагогов создать сборник открытых текстов для подготовки к выпускному экзамену, подобно существующему для девятиклассников. Пусть он будет больше, чем первый, пусть периодически обновляется, но по крайней мере появится конкретный ориентир для воспитания математической культуры учеников.
“Я знаю, как решить, но не знаю, как это оформить”
Такую фразу можно часто слышать от учеников 11-х классов. И как свидетельство тому – неграмотность и непоследовательность изложения математических действий. Но экзаменационная работа направлена на проверку как практических навыков, так и умения применять, а где нужно излагать необходимые теоретические посылки.
Трудно давать конкретные рекомендации по этому поводу. Порядок и способы решения, краткость или развернутость объяснений зависят не только от ученика, его знаний, математического кругозора, но и от стиля преподавания учителя. Между тем главные критерии оценки экзаменационной работы должны учитывать наличие или отсутствие математических ошибок. Только наличие ошибки может служить основанием для снижения отметки. В качестве примера ошибки, влияющей на оценку ученика, можно привести следующую. В процессе решения задачи на нахождение промежутков убывания и возрастания функции f(x) = х4 – x2 ученики приводят такой вывод: “Функция убывает на (-;-1] [0;1]”. Чтобы убедиться, что это ошибка, сравним значения функции при x =-1,1 и x = 0,1. f(-1,1) = -0,1975; f(0,1) = -0,04975. Очевидно, что f(-1,1) < f(0,1), следовательно, функция f не является убывающей на указанном множестве, хотя на каждом из промежутков (-;-1]; [0;1] она убывает. У школьников, к сожалению, мало опыта работы с теоретико-множественной символикой. Это и приводит к неверным результатам. Учителю в каждом похожем случае надо продумывать систему предупредительных мер, чтобы ученики не допускали таких ошибок. Помимо ошибок, в контрольной работе могут встретиться и недочеты (иногда учителя, переусердствуя, причисляют их к ошибкам). Приведем соответствующий пример. Решая иррациональное уравнение, отдельные ученики не выполняют проверку, что, естественно, следует признать недочетом. Конечно, строгий и критично настроенный учитель отнесет к недочетам неподписанные названия графика функции, необозначенные оси координат и т.д. Бесспорно, работа, в которой нет подобных огрехов, производит лучшее эстетическое впечатление, но стоит ли арифметически складывать подобные "недочеты" при выставлении экзаменационной оценки?! Кроме того, надо помнить основное положение инструкции о проверке экзаменационной работы. Оценка за нее может быть снижена только за математические ошибки.
Как же добиться того, чтобы ученики грамотно и последовательно записывали решения, аккуратно оформляли свои работы? Ответ скорее всего единственный – совершенствование математической и методической культуры учителя. Учитель, обладающий такой культурой, имеет большую возможность увидеть работы своих учеников, оформленные исходя из принципа разумной достаточности.
Последние советы
Самая ответственная работа по подготовке к итоговой аттестации уже началась и продолжится в 4-й четверти. К этому времени в основном закончено прохождение программы, проведены контрольные работы. Ученики вместе со своими наставниками выходят на предэкзаменационную финишную прямую. На что обратить внимание в оставшееся время?
Первое. Спланировать систему повторения, включив в нее базовый задачный материал. За основу можно взять сборники задач для подготовки к экзаменам, последние разделы учебника, другие методические материалы.
Второе. Провести серию итоговых письменных работ по каждому блоку задач. На консультациях рассказать ученикам об основных теоретических пояснениях, алгоритмах решения, разобрать комбинированные экзаменационные задачи.
Третье. Показать ученикам, как нужно самостоятельно готовиться к итоговой аттестации, привести примеры наиболее целесообразных форм и способов такой подготовки. Связать задачный материал повторительно-обобщающих уроков с системой домашних заданий.
А дальше работать и верить в успехи своих учеников…
Алексей АЗЕВИЧ, учитель математики, кандидат педагогических наук
Выбор читателей
Комментарии