Математика – это так просто…

Для того чтобы педагогический процесс мог развиваться нетривиально и творчески, учитель должен быть не только хорошим предметником и воспитателем, но еще и философом. Хотя бы потому, что нужно уметь отключаться от серых будней и воспарять к вершинам педагогики, творчества, находить высокий смысл в том, что ты делаешь сегодня и обязательно должен будешь сделать завтра. Учитель математики, победитель конкурса «Учитель года России-2007» Анна Григорьевна МЕХЕД работает в школе №2030 – той школе, которая стала в столице базовой в эксперименте по разработке модели «Школы будущего». Для работы в таком учебном заведении архинеобходимо понимать философию образования во всей ее полноте. Это Анна Мехед и продемонстрировала в своем эссе, представленном на конкурсе и получившем высшие оценки жюри под председательством академика РАН, ректора МГУ имени М.В.Ломоносова Виктора Садовничего.

Есть определение: «Шар – геометрическое место точек пространства, равноудаленных от одной определенной точки – центра шара». Однако вряд ли кто-нибудь впервые узнает, что такое шар, именно из этого определения. Надо полагать, что человек усваивает понятие шара в детстве – на примере мяча, глобуса, шарика из подшипника. А определение он узнает лишь на уроках математики в школе. При этом не каждый понимает, что тот шар, который он знает с раннего детства, и тот шар, которому его обучили в школе, – это один и тот же шар. В результате может возникнуть представление, что «математика существует только сама по себе»…

Математики, как правило, очень гордятся тем, что они математики. В чем же источник их гордости? Они объясняют это тем, что математика – уникальная наука, и только ей присущи следующие черты: во-первых, все понятия строго определяются. Во-вторых, в математике все строго доказывается из аксиом. В-третьих, математика бывает понятна в такой степени, которая порой недоступна ни одной другой науке. В-четвертых, математика занимает особое место: она занимается построением формальных моделей, явлений и процессов, изучаемых другими науками.

А я горжусь тем, что учу математике, но, справедливости ради, как учитель, замечу, что определить все математические понятия все-таки невозможно.

Для наглядного примера задумаемся об устройстве толкового словаря русского языка. В нем одни слова определяются через другие, другие через третьи. Но поскольку слов в словаре конечное число, то неизбежно возникает круг. Как говорила г-жа Простакова из «Недоросля» Д.И.Фонвизина: «Портной учился у другого, другой у третьего, да первый-то портной у кого же учился?». Избежать такого круга можно лишь одним способом: оставить некоторые слова без объяснений. Так же, разумеется, обстоит дело и с понятиями математики: некоторые понятия остаются без определения. Таким образом, существуют так называемые неопределяемые первичные понятия: точка, прямая, плоскость и так далее, на взаимных отношениях которых строится математическая наука. Усвоены эти понятия могут быть из непосредственного наблюдения, из интуиции, из личного опыта, его осмысления, понимания.

Овладение культурой начинается с самого детства. Каждый человек учится быть человеком, и это учение происходит в контексте культуры и образования. Современная математика включает в себя целые пласты культур прошлого. Например, школьная планиметрия. Она удивительно точно передает античный образ мысли. В ней совершенно отчетлива тенденция увидеть предмет как что-то данное, завершенное. Планиметрия демонстрирует античный способ доказательства, который обращается к зримому образу изучаемого предмета. В разделах, изучающих понятие функции и анализ бесконечно малых, мы находим элементы культуры Нового времени, для которой определить что-либо – значит задать способ построения, найти возможность его бесконечного продолжения. Хорошее математическое образование никому не помешает. Оно позволяет любому человеку обнаружить культурную значимость этой науки, увидеть в ее изучении не только математический, но и культурологический, философский и исторический интерес.

В анкете на конкурсе было предложено назвать кумиров в профессии, но для меня эти люди не столько кумиры, сколько мои учителя.

Готфрид Лейбниц долго трудился над задачей проведения касательной к кривой в заданной точке, пришедшей в математику из области строительной архитектуры. Достаточно частная задача никак не давалась. А что, если решать не эту, а другую задачу – более общую, которая включала бы исходную в качестве одного из частных вариантов? Лейбниц представил, что разыскивает не касательную, а прямую, пересекающую кривую в точке касания и в некоторой другой, удаленной от первой на известное расстояние. В результате речь шла уже о проведении секущей, что не составляло особого труда: с этой задачей мог справиться и школьник, знающий уравнение прямой. Но, решив задачу, Лейбниц нашел касательную уже как частный случай, именно путем сближения точек, когда расстояние между ними по дуге оказывается минимальным и в точке касания сводится к нулю, исчезает. Так было дано определение производной функции в точке и изобретено дифференциальное исчисление – применимый во всех науках метод.

Нахождение касательной – лишь эпизод в обширном классе проблем, которые могут быть решены с помощью мощного математического аппарата. «Решая познавательную задачу, полезно придумать какую-нибудь другую, общую задачу, которая содержит первоначальную и легче поддается решению», – заметил Готфрид Лейбниц, будучи не только математиком, но и философом. Мне как математику близок и понятен ход рассуждений Лейбница. В то же время мне как учителю полезен его метод научного познания. Путь от общего к частному (некая «педагогическая дедукция») позволяет вводить новый материал на уроке большими массивами, широко использовать информационно-коммуникационные технологии, вырабатывать исследовательский настрой в классе.

С Марком Александровичем Красносельским я знакома опосредованно, через его учеников. Сфера научных интересов – математические методы анализа сложных систем – одно из актуальнейших направлений современной науки. Мне он интересен не столько как ученый, а как Учитель, создавший собственную Школу. Как Учитель, который организовал воскресный математический кружок для школьников, переросший в мощную математическую школу. Красносельский – Учитель, который «освещал путь в науку», по высказыванию одного из его учеников. Среди его бывших учеников более 30 докторов наук, несколько академиков. Для меня Марк Александрович – пример взаимодействия большой науки и средней школы.

Кстати, поиск общего решения частной проблемы лежал и у истоков интегрального исчисления, и, возможно, у основ интегральной образовательной технологии, разработанной математиком, доктором педагогических наук Вячеславом Гузеевым. В его статьях я нашла отражение своих педагогических поисков и подтверждение моим открытиям за двадцать с лишним лет работы в школе. Сначала меня заинтриговало «математическое» название образовательной технологии, ведь для меня интеграл не только знак суммирования, но и некий символ целостности образовательного процесса. Впоследствии я убедилась в правомерности такого названия. Гузеев считает, что объединение четырех перспективных направлений (укрупнение дидактических единиц, психологизация образовательного процесса, компьютеризация и планирование результатов обучения) позволит, «если удастся сплавить эти направления в нечто единое, целостное, интегральное, создать мощную технологию».

Я благодарна этим и другим моим Учителям, которые во многом определили мой путь в профессии. Но, все-таки, школа – не конвейер, а образование – не производство. Ведь, как известно, не для школы, для жизни учимся. Поэтому меня волнуют не только учебные результаты, но прежде всего жизненные успехи выпускников. Ибо, как писал Александр Сергеевич Грибоедов: «Чем человек просвещеннее, тем он полезнее своему Отечеству».

Культура и образование взаимосвязаны: культура определяет смысл, ценность и содержание образования, а образование сохраняет культуру, передает ее достижения из века в век. Вместе они определяют не только сущность и общий уровень развития общества, но и оказывают глубокое влияние на каждого человека. Дополняя друг друга, они составляют базовые качества личности, формируют привязанность к своей культуре, народу, языку, Родине.

У человека есть только «…две ноги: интеллект и совесть. Как совесть без развитого интеллекта слепа, но не опасна, так опасен интеллект без совести», – писал Юрий Лотман. И честность, доброта, справедливость, благородство, умение незаметно помочь другому, способность к пониманию, к гуманному отношению к миру и людям – это не просто «красивые, правильные» слова, это то чем я живу и дорожу.

Таким образом, мои философско-математические размышления позволяют мне видеть Образование как цель и результат, как процесс и как ценность.

В заключение выдвину гипотезу: подлинно глубокое математическое и нематематическое понятие или утверждение должно быть в своей сути просто. И тогда есть надежда, что оно окажется понятным, или, лучше сказать, понятым.