Математика

Включите кодовую систему!

Решение задач на “проценты”. 5-6-е классы

Общеизвестно, что большинство школьников панически боится задач, связанных с понятием “проценты”. Происходит это оттого, что способ решения задач данного типа через определение процента очень ненагляден, громоздок и потому игнорируется учениками. Поэтому при решении задач указанного типа большинство из них ищет какую-нибудь “зацепку”, с помощью которой можно безошибочно определять “делить на 100 или умножать”. То же самое происходит и с задачами на нахождение части от числа и числа по его части.

Некоторые учителя решают эту проблему, вводя понятие “пропорция” уже в 5-м классе до начала изучения перечисленных выше типов задач. Но я хочу показать методику формирования приемов решения таких задач без введения понятия “пропорция”, опирающуюся на известные нам особенности кодовых систем низшего и высшего уровней.

Всякая мысль, прежде чем обрести словесное выражение, проходит через этажи первой сигнальной системы, названной Павловым И.П. ближайшим проводником действительности. Сознательная деятельность человека осуществляется с помощью коры головного мозга, занимающей всего 3% массы мозга. Основная масса мозга перерабатывает информацию, связанную с информационными кодами низшего уровня! В процессе мышления значительный объем информации усваивается именно на нижних этажах кодовой системы независимо от словесных, логических, высших уровней.

Для облегчения работы памяти, повышения эффективности мышления и его ускорения необходимо использовать колоссальные возможности именно “нижних” кодовых систем посредством таких технических приемов, как удачное расположение записей, варьирование размера и формы шрифтов, разнообразные подчеркивания, особые значки (символы) в тексте, симметрия и выразительность чертежей и графиков, насыщение их цветом, контрастом и другие приемы фиксации внимания при подаче информации”. (Эрдниев П.М. Обучение математике в начальных классах. М., Педагогика, 1979).

При обучении математике очень важно помнить, что многое в этом учебном предмете постигается, помимо слов, на “уровне знаков”.

А теперь о “зацепке”.

I этап. Рассмотрим следующие задачи:

1) Маша и Юра собирали в лесу грибы. Маша собрала 16 грибов. Сколько собрал Юра, если известно, что он собрал 1/4 от того, что собрала Маша. 2) Маша и Юра собирали в лесу грибы. Юра нашел 4 гриба, что составляет 1/4 от того, что набрала Маша. Сколько грибов собрала Маша?

С 3-го класса известно решение подобных задач.

Маша = 16 грибов

Юра = ?, 1/4 от

16:4.1 = 4 (гр.)

Ответ: Юра собрал 4 гриба.

Маша = ?

Юра = 4 гр. = 1/4 от

4:1 . 4 = 16 (гр.)

Ответ: Маша собрала 16 грибов.

Затем ученикам предлагается схематическое правило решения задач этого типа.

часть : знаменатель

целое : числитель,

где слово “часть” проставляется в той строчке, где есть дробь, не являющаяся именованным числом. Слово “целое” проставляется в той строчке, куда указывает стрелка. Впоследствии это правило принимает более компактный вид

часть : 3

целое : ч

(двух “ч” в одной строчке не может быть).

С помощью этого правила можно легко решать достаточно сложные по структуре задачи, примеры которых будут рассмотрены ниже. При этом использование символических записей экономит время для запоминания и содействует четкости и однозначности мысли. “Ограничение же лишь словесным выражением мысли влечет потерю части информации, и вот почему: словесная форма выражает правило на уровне высшего кода; а символическая запись имеет более конкретную форму, воспринимается зрительно”, это еще одно правило П.М.Эрдниева.

II этап. Задача.

Мастерская получила 700 м шелка. Из 2/7 полученной ткани сшили халаты, а из 2/5 полученной ткани сшили платья. Сколько метров шелка осталось?

Выполним схематическую запись условия.

Всего = 700 м (ц)

На халаты = ?, 2/7 от (ч)

На платье = ?, 2/5 от (ч)

Остаток = ?

Мы имеем здесь 2 связки, каждую из которых можно решить, используя схематическое правило. Связки друг от друга не зависят. Их разрешимость определена наличием лишь одного вопроса в каждой.

1) 700 : 7 . 2 = 200 (м) – на халаты,

2) 700 : 5 . 2 = 280 (м) – на платья,

3) 700-(200+280) = 220 (м) – остаток.

А теперь изменим задачу следующим образом.

Задача. Мастерская получила 700 м шелка. Из 2/7 полученной ткани сшили халаты. На платья пошло 2/5 от того количества ткани, что пошло на халаты. Сколько шелка осталось?

Схематическая запись условия будет выглядеть иначе:

Всего = 700 м (ц)

На халаты = ?, 2/7 от (ч) (ц)

На платья = ?, 2/5 от (ч)

Остаток = ?

Схематическая запись опять свидетельствует о наличии 2 связок. Рассмотрим их внимательно. Верхнюю связку мы можем решить согласно нашему правилу, а нижняя пока неразрешима, т.к. в ней присутствуют 2 вопроса. Таким образом, порядок выполнения действий в этой задаче жестко определен условием, а именно

1) 700:7 . 2 = 200 (м) – на халаты,

2) 200:5 . 2 = 80 (м) – на платья,

3) 700-(200+80) = 420 (м) – остаток.

Изменим текст задачи еще раз.

Задача. Мастерская получила 700 м шелка. Из 2/7 ткани сшили халаты, а из 2/5 остатка сшили платья. Сколько метров шелка осталось?

Всего = 700 м (ц)

На халаты = ?, 2/7 от (ч)

Остаток = ? (ц)

На платья = ?, 2/5 от (ч)

Остаток = ?

Здесь также 2 связки и также ход решения жестко определен условием. Начинаем со связки, имеющей один вопрос.

1) 700 : 7 . 2 = 200 (м) – на халаты,

2) (700-200) : 5 . 2 = 200 (м) – на платья,

3) 700-(200+200) = 300 (м) – остаток.

И, наконец, разберем такую задачу.

Мастерская получила несколько метров шелка. Из 2/7 всей ткани сшили халаты, а из 2/5 всей ткани сшили платья. Сколько метров ткани осталось, если на халаты израсходовали 700 м?

Всего = ? (ц) (ц)

На халаты = 700 м = 2/7 от (ч)

На платья = ?, 2/5 от (ч)

Остаток = ?

1) 700 : 2 . 7 = 2450 (м) – всего ткани,

2) 2450 : 5 . 2 = 980 (м) – на платья,

3) 2450-(700+980) = 770 (м) – остаток.

В первом действии находим целое по его части, а во втором – часть от целого.

А теперь проанализируем решение этих задач. Объекты и числовые характеристики во всех задачах одни и те же. Во всех задачах требуется найти окончательный остаток. Но ход решения задач и результаты различны. Таким образом, определяющее значение при решении задач имеют не числовые характеристики, а вид связей между ними.

III этап. После того как учащиеся овладеют приемом решения задач на “часть/целое”, достаточно ввести понятие “процент”, и решение соответствующих задач будет протекать по описанному выше алгоритму.

Задача. Грузовики в первый день проехали 24% намеченного пути, во второй день – 46% пути, а в третий – остальные 450 км.

Сколько километров проехали эти грузовики?

I день = ?, 24%

II день = ?, 46% от

III день = 450 км =

Всего = ?

Составив схематическую запись этой задачи, мы видим, что в ней 2 связки, и в каждой связке по 2 вопроса, т.е. они пока неразрешимы. Однако можно заметить, что именованное число 450 км не входит ни в одну из связок. Попробуем составить 3-ю связку с этим числом. Весь путь грузовики преодолели за 3 дня. Так как на I день приходится 24%, на II – 46% пути, то на III день приходится 100% – (24%+46%) = 30%.

Получаем связку III день = 450 км = 30%

от = 30/100 (ч)

Всего = ? (ц)

Для решения задачи осталось воспользоваться схематическим правилом:

450 : 30 . 100 = 1500 (км) – весь путь.

Для самостоятельного решения можно предложить более простую задачу, ход решения которой предопределен соответствующими связками, получаемыми непосредственно из анализа текста задачи.

I день = ?, 24% от

II день = ?, 46% ? (км)

III день = 450 км.

IV этап. И, наконец, переходим к самому сложному случаю, когда часть от числа и само число выражены дробью, (этот материал традиционно изучается в 6-м классе).

Если у учеников уже сформирован прием решения описанных выше задач, то они достаточно быстро научатся отличать именованное число, выраженное дробью, от дроби, выражающей часть. А затем отработанное уже и усвоенное правило:

часть : з

целое : ч

дополняется до вида,

часть : з . дробь

целое : ч : дробь,

т.к. работать с ним уже не очень удобно.

Сделать это можно следующим образом.

Задача. Длина прямоугольного параллелепипеда 5 3/5 м, ширина составляет 3/4 от длины и 3/10 от высоты. Найти ширину и высоту параллелепипеда.

а = 5 3/5 м (ц)

в = ?, 3/4 от (ч), = 3/10 от (ч)

с = ? (ц)

1) 3/4 от 5 3/5 = 28/5:4.3 =28/5.1/4.3/1=

28/5 . 3/4 = 21/5 (м), – в

2) 21/5:3.10 = 21/5:3/1.10/1 = 21/5.1/3.10/1 =

21/5 . 10/3 = 14 (м) – с

Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь.

Чтобы найти число по данному значению его дроби, надо это значение разделить на дробь.

Рассмотрим еще одну очень интересную задачу.

Задача. В овощную палатку привезли 8 3/4 т картофеля. В I день продали 0,6 всего картофеля, а во второй день продали 1/2 того количества, которое было продано в I день. Какая часть картофеля была продана во II день? Сколько тонн картофеля было продано во II день?

Всего = 8 3/4 т (ц)

I день = ?, 0,6 от (ч) = 6/10 (ц)

II день = ?, 1/2 от ;?от (ч)

(часть).

В 6-м классе эту задачу можно решить двумя способами:

I способ. Решим сначала верхнюю связку.

1) 8 3/4 . 6/10 = 21/4 = 5 1/4 (т) – I день.

2) 1/2 от 21/4 : 21/4 . 1/2 = 21/8 = 2 5/8 (т) – II день,

3) 2 5/8 : 8 3/4 = 21/8 : 35/4 = 3/10

Ответ: во II день было продано 2 5/8 т картофеля, что составляет 3/10 от всего картофеля.

II способ. Вторая связка имеет 2 вопроса и поэтому является неразрешимой, но с ее помощью можно определить, какую часть всего картофеля продали во II день.

Число 0,6 выступает здесь в той же самой роли, в какой выступали в предыдущих задачах известные именованные числа.

1) 1/2 от 0,6 = 1/2 . 6/10 = 3/10 (от всего). Тогда связка будет выглядеть следующим образом:

Всего = 8 3/4 т (ц)

II день = ?, 3/10 от (ч), т.е. является разрешимой.

Для прочного усвоения описанных приемов решения всеми учениками необходима их отработка на конкретных задачах. Переход к индивидуальной форме деятельности учащихся путем организации самостоятельной работы возможен лишь после того, как дети осознали сущность этих приемов.

Многолетний опыт применения предлагаемой методики свидетельствует, что ученики не испытывают страха перед задачами, связанными с понятием “процент”, свободно и легко овладевают приемами составления и решения связок и в конечном итоге (это происходит всегда) поднимаются на качественно новую ступень видения темы в целом.

Тамара ЕВГЕНЬЕВА, учитель математики средней школы # 27

Тамбов