Математика

Гаммы в треугольном стиле

О таинственных свойствах простой фигуры

Споры о содержании того или иного предмета требуют конкретных аргументов. Все убеждены: ученик должен быть ознакомлен с основами науки. Так почему же эти основы в стандартном курсе элементарной математики заканчиваются истинами, усвоенными наукой еще в ХVII веке? Неужели в дальнейшем человечеству уже не удалось открыть ничего основного, а только какие-то частности? Нет, дело, скорее, в потрясающей инертности школьного курса математики. В инертности нас с вами, уважаемые учителя и методисты.

Так давайте же вновь и вновь внимательно посмотрим – нет ли на свете чего-то такого, что, будучи основами, в то же время оказалось бы простым, понятным и интересным, а потому пригодным для наших учеников?

Математик в сложном видит простое, а в простом почему-то всегда находит что-то сложное.

К примеру, что может быть проще правильного (равностороннего) треугольника или квадрата? А математик находит тут что-то необыкновенное. Словно видит какую-то ниточку, начинает за эту ниточку тянуть и вытягивает из простых треугольника и квадрата очень сложные структуры. Такие неочевидные, что и осмыслить-то сразу не удается…

Но мы попытаемся.

Для начала вырежем из цветного картона (не важно, какого цвета, но мне, например, нравится золотистый) равносторонний треугольник. Цветной картон обычно окрашивают с одной стороны, но нам так и нужно, чтобы с обратной стороны треугольник был другого цвета.

Рис. 1

Одна вершина (с обеих сторон – сверху и с изнанки) отмечается (см. рис.1), теперь нужно положить треугольник на бумагу и обвести маркером. Вот и все приготовления: гораздо проще, чем в химии или даже в физике. Впрочем, математику недавно назвали “частью физики”; не знаю, насколько это верно, однако мы-то сейчас осуществим самый настоящий что ни на есть эксперимент…

Приподнимем наш треугольник – под ним обнаружится треугольная “рамка”. Теперь мы можем как угодно повернуть или перевернуть треугольник и вновь опустить на ту же “рамку”. Как мы это будем делать, несущественно – важно лишь начальное (указанное на рис. 1) и конечное положение треугольника в “рамке”. Легко видеть, что существует всего лишь шесть вариантов “перемещения” треугольника. 1. Приподнять и положить так же, как и было. 2. Повернуть на 1200 против часовой стрелки, не переворачивая изнанкой. 3. Повернуть точно так же на 2400. 4-6. Повороты на 1800 вокруг трех осей симметрии (L1, L2, L3), указанных на рисунке. Все остальные действия, как легко убедиться, сводятся к этим шести. Например, если я поверну треугольник на 1200 не против, а по часовой стрелке, то это будет все равно что повернуть на 2400 против часовой, то есть упомянутый уже третий вариант.

Такого рода действия с треугольником (когда мы вынимаем его из “рамки” и вновь вкладываем в “рамку”) называются СИММЕТРИЯМИ ТРЕУГОЛЬНИКА. Запомните, именно это называется симметрией, а не что-нибудь иное. И в дальнейшем наше внимание будет сконцентрировано не на исходном треугольнике как таковом, а именно на симметриях треугольника (а потом – и на симметриях квадрата и некоторых других фигур).

Хотя с помощью цветного треугольника с отмеченной вершиной можно легко различить все шесть симметрий, давайте все-таки придумаем каждой из них пиктограмму (условный иероглиф) и обозначение буквой (латинской, естественно). То, что получилось, можно видеть на рис. 2.

Рис. 2

a b c

d e f

Итак, теперь вместо одного золотистого треугольника появилось целых шесть, символизирующих симметрии, так что уместно теперь говорить о множестве симметрий правильного треугольника из шести элементов. Займемся изучением этого множества.

Попробуем выполнять действия последовательно. Для того чтобы было все понятно, опять воспользуемся золотистым треугольником. Предположим, сначала выполним действие а – то есть повернем треугольник на 1200 против часовой стрелки, а затем – действие d – переворот наизнанку вокруг одной из осей, а именно 12. Если вы делаете все это вместе с нами, то легко поймете, что тот же самый эффект можно получить одним-единственным действием f.

Выясняется, что, какую бы пару действий подряд вы ни осуществили, каждый раз достаточно было сделать лишь какое-то одно действие. При этом мы оказываемся как бы в “заколдованном кругу”, из которого невозможно выбраться. В подобных случаях математики говорят о замкнутости бинарной операции. Ведь то, что происходит, когда последовательно выполняются два действия, аналогично таким операциям, как, например, сложение и умножение чисел. И тут и там берутся два элемента (отсюда “би-нарность”) из какого-то множества (там – чисел, здесь – симметрий) и по определенному правилу находится третий элемент (там – число, здесь – симметрия). Естественно теперь было бы придумать и название для операции…

Обычно новых слов не придумывают (математика скупа на новые слова!), а используют старые: “сложение” или “умножение” и соответствующие знаки: “+” или точка (притом точку договариваются пропускать). Нужно только помнить, что если выбраны “сложение” и знак “+”, то пользоваться надо только ими, а если “умножение” и точка, то тоже – только ими одними. Когда выбирают умножение, говорят о мультипликативной записи, когда сложение – об аддитивной.

Предположим, мы выбрали аддитивную запись. Тогда осуществленное нами действие должно быть записано так:

а + d = f.

Итак, мы попали в мир симметрий правильного треугольника. Осуществляя последовательно ряд симметрий, мы остаемся все время там, откуда начали путь, – в мире симметрий правильного треугольника. Никакими симметриями мы не сможем выбраться за его границы.

Кстати, о своеобразном элементе – “пустоте”. Вспомним, что буквой е было обозначено такое действие, когда треугольник вынимался из “рамки” и снова туда точно так же опускался, то есть ничего не менялось. Это мы тоже считаем симметрией. Прибавление этого элемента к любому другому не меняет этот элемент. Пусть, например, мы перевернули треугольник вокруг оси 13, то есть осуществили симметрию с. Если к этому добавить еще е, то это все равно, что ничего не добавить к сделанному ранее. Если это записать в виде формулы, то будет так:

с + е = с.

Совершенно аналогично и е + с = = с. И так будет при сложении е “слева” и “справа” с любым вообще элементом, с любой симметрией. В подобных случаях элемент типа е называют нулевым. (Это, разумеется, в случае принятия аддитивной терминологии; если же принята мультипликативная терминология, то такой элемент будет называться единичным).

Чтобы научиться быстро ориентироваться в мире симметрий, можно предложить две весьма простые, но азартные игры. Для обеих игр нужно сделать колоду карт. На лицевой стороне каждой карты должна быть нарисована пиктограмма, скопированная с рисунка 2 с буквенным обозначением. Причем одинаковых карт для каждого из видов симметрии должно быть 5, или 6, или 7 (число должно быть одинаковым и зависеть от предполагаемого числа играющих).

Игра 1. Домино.

Для игры раздается 5 карт. Остальные рассыпаются по столу рубашкой вверх – это “базар”.

Первый игрок выкладывает первую карту. Затем второй – вторую и кладет ее рядом с первой. Теперь первый игрок должен положить в ряд такую карту, которая была бы суммой симметрий, указанных на двух первых картах.

Если это невозможно, то есть у него нет такой карты, то он должен брать карты из “базара” до тех пор, пока не найдется нужная.

Если он положит неверную карту, то пропускает ход. Выигрывает тот, у кого первого на руках не останется ни одной карты.

Игра 2. Умник.

В эту игру играют не менее трех участников. Карты перемешивают и раздают по пять. Остальные карты кладутся колодой рубашкой вверх.

Сначала выкладывает карту сдающий, затем – следующий за ним по часовой стрелке игрок. Третий игрок отбивается. Две предложенные ему карты (в определенном порядке) можно побить, положив карту с символом суммы указанных там симметрий. Битые карты отбрасываются и более в игре не участвуют. Если же игрок не может побить предложенные ему карты, он обязан взять их себе.

После этого все игроки (включая, может быть, и того, кто только что взял карты) берут по одной карте из колоды. Новый ход начинает следующий по порядку за сдающим игрок. В этом варианте игры переход хода не зависит от того, взяты карты или побиты.

Побеждает, как обычно, тот, у кого на руках не осталось карт.

Обратите внимание, что порядок выкладываемых на каждом ходу карт весьма существен (почему – это нам еще предстоит выяснить). Перекладывать их местами нельзя.

Потренировавшись на этих играх некоторое время, вы заметите, что вам уже не требуется прибегать к помощи золотистого треугольника, – все действия вы уже научились выполнять “в уме”.

Теперь вполне естественно соорудить таблицу сложения (которая при мультипликативной записи называлась бы таблицей умножения). Нужно, чтобы читатель самостоятельно построил эту таблицу, проверил, правильно ли составлена наша. Это важно не только с точки зрения тренировки, но и потому, что для дальнейшего изучения эта таблица – все равно что фундамент для дома, и нужно быть абсолютно уверенным, что ошибок нет.

Осуществить сложение симметрий по этой таблице можно так. Первый элемент находим в самом левом столбце, второй – в первой строке. На пересечении найденных строки и столбца ищем результат.

Разглядывая таблицу, можно обнаружить одно очень интересное обстоятельство. Оказывается, здесь не выполняется “фундаментальный” закон сложения – “от перемены мест слагаемых сумма не меняется”! Например, d + f = b, но f + d = a. И это не единичный случай.

Картина становится интересной. Мы начали с простейшей и тривиальнейшей геометрической фигуры, о которой, кажется, все уже известно, да и что о ней можно знать? А оказывается, здесь какое-то совсем не простое и не такое уж очевидное свойство. Значит, не такая уж она симметричная и тривиальная, эта фигурка. Есть в ней что-то немножечко неправильное, но как бы скрытое от непосредственного наблюдения. И не так-то просто понять, откуда оно взялось и в чем причина его появления здесь.

Вряд ли просто удастся получить ответы на эти вопросы. Математика показывает нам, что у вещей окружающего нас мира существуют скрытые таинственные свойства, структуры, которые понятны лишь глазу посвященного, уму, посвятившему время и труд для проникновения в суть вещей.

Евгений БЕЛЯКОВ