Математика

Сколько лет живет черепаха?

Среди обилия методической литературы встречаются пособия, которые во многом не похожи на другие. Благодаря таким книгам открываются неожиданные возможности совершенствования методики. Особенно важно, если это касается преподавания математики в 5-6-х классах – наиболее ответственном школьном периоде.

асто на уроке математики учителю не хватает наглядно-образных приемов. Они нужны для того, чтобы сделать урок интересным, а излагаемый материал – доступным. Это особенно важно для учеников 5-6-х классов. Дети указанного возраста особенно восприимчивы ко всякого рода занимательным задачам. Занимательным может быть само содержание задания, нетрадиционная форма подачи материала, неожиданный результат решения. Такие приемы развивают в детях чувство любознательности, умение рассуждать, кратко и точно излагать свои мысли.

В действующих учебниках по математике для 5-6-х классов есть разнообразные упражнения, в которых представлены блок-схемы, наглядные рисунки, исторические задачи, кроссворды. И все-таки каким бы хорошим ни был учебник, восприятие предмета во многом зависит от личности учителя. Его методическое мастерство складывается из обширных знаний предмета и искусства преподавания. Методическая эрудиция педагога формируется благодаря постоянному совершенствованию как учебного содержания, так и технологий обучения. Учителю необходимо постоянно накапливать собственные индивидуальные приемы воздействия на ум и чувства обучаемых.

На эти мысли наводит необычная книга, изданная очень небольшим тиражом Псковским областным институтом усовершенствования учителей в 1993 году. Авторы пособия с красивым названием “Математический паноптикум” – О.И.Перькова и Л.И.Сазанова. Кстати, само слово “паноптикум”, довольно редко встречающееся в нашем лексиконе, означает музей или коллекцию разнообразных редкостей, причудливых существ.

“Математический паноптикум” адресован тем учителям математики, которые не пренебрегают разнообразными приемами образно-эмоционального воздействия на учеников. Задания, представленные в книге, можно использовать как на уроке, так и на занятиях кружка, для подготовки тематических вечеров, в индивидуальной работе с детьми. Книга не только помогает изучать математику, но и дает возможность узнавать много нового, интересного, познавательного о животных и растениях, знаменитых людях и исторических событиях. Особенно привлекательно то, что все эти сведения передаются через задачи.

Сами задачи отличаются разнообразием форм подачи условия. Здесь схемы и таблицы, магические квадраты, всевозможные геометрические фигуры. Несколько сотен упражнений охватывают все основные разделы математики 5-6-х классов. Пособие состоит из нескольких разделов: “Хочу все знать”, “Знаете ли вы”, “Узнай по описанию”, “Любопытный факт”. Вот лишь несколько задач.

Задача. Какая из наших птиц откладывает яйца и выводит птенцов в трескучие морозы?

Указание. Для решения задачи надо выполнить действия, заменить ответы буквами, и тогда можно прочитать название этой удивительной птицы (рис.1).

Дальше идет цепочка задач, решая которые, дети могут подробно узнать много интересного об этой птице. Какова длина ее тела, чем питается, где живет и даже сколько лет может сохраниться тело птицы после смерти. Оказывается, 15-20 лет, потому что клест (так зовут эту птицу) питается смолистыми семенами хвойных деревьев. Тело птицы так пропитывается смолой, что после смерти долго не подвергается гниению.

А какая птица в нашей стране самая высокая? Чтобы ответить на этот вопрос, надо решить серию примеров, с помощью которых зашифровано название птицы (рис.2).

Последовательные выполнения действий с помощью схемы, изображенной на рис. 3, дают возможность узнать, сколько лет живет черепаха. А какая из них самая большая? Выполнив действия (рис.4), заключаем, что это – дермохелис.

Есть в книге и занимательные истории, которые служат фабулой задачи. Взять, например, хотя бы такую.

Задача. Однажды в графстве Камберленд разразилась гроза. Сильный ветер вырывал деревья с корнями, образуя воронки. В одной из таких воронок жители обнаружили какое-то черное вещество. Название этого вещества зашифровано уравнениями. Решите уравнения, а корни уравнений замените буквами (рис.5).

Надо сказать, что некоторые схемы, содержащиеся в пособии, довольно сложны для восприятия. Иногда задачи страдают однообразием математического содержания. Однако надо отдать должное авторам в оригинальности подачи материала, в желании сделать процесс обучения интересным и увлекательным.

Часто слышим о том, как трудно идет формирование у учеников вычислительных навыков. Порой не помогают ни система упражнений, ни их количество. Наверное, надо в каждый урок внести больше жизни, интереса, вдохновения, и тогда эта проблема будет решаться более успешно.

Алексей АЗЕВИЧ, учитель математики 931-й московской школы

Мюнхгаузен об интеграле

В январе этого года издательство “Просвещение” выпустило учебник, аналога которому в России пока нет. В чем его особенность? Новый учебник для десятого класса именуется нетрадиционно – словом, знакомым с начальной школы, – “Математика”.

н – для “гуманитариев” и рассчитан на классы, которые учатся сей точной науке всего три часа в неделю. И как учатся? Обычно первое полугодие десятого полностью отдается стереометрии. Понятно почему: отдельного экзамена по стереометрии нет – она входит в экзамен по выбору за курс одиннадцатилетки. Поэтому фактически стереометрию учат для того, чтобы ее тут же и забыть. Такова практика! Но зато потом учителя вовсю гонят одну только алгебру. Отрабатывая навыки построения графиков и решения уравнений.

Однако вызывание условного рефлекса у “гуманитариев” еще не их развитие. Такая ли урезанная программа общеобразовательной школы по математике нужна будущим библиотекарям, филологам и хореографам?.. “Нет”, – ответили ученые и создали принципиально другой учебник.

Предполагается, что за те же три часа в неделю гуманитарии смогут получить представление обо всем: традиционно об элементах алгебры и геометрии, математическом анализе… Но, кроме того, о теории вероятности, статистике, комбинаторике, налогах, процентах банковских операций, акциях, страховании и облигациях, то есть о том, как используется математика в повседневной жизни. Однажды войдя в память школьника, такая математика, надо думать, никогда не забудется.

Авторы учебника учли и то, что у гуманитариев образное мышление. Им сначала надо представить задачу, “увидеть”, выработать к ней свое отношение, а потом уже ее решать. Поэтому математический анализ изучается здесь с помощью занимательных рассказов Мюнхгаузена. Ведь автор книги о нем, Распэ, был неплохим знатоком математики. Фактически он использовал в рассказах своего героя понятия интеграла, параболы, построения функций…

Материал этого учебника убеждает: в основе простого и сложного одни и те же принципы. Познаешь простое – сможешь понять и сложное. Традиционные же учебники математики как будто бы и создавались для того чтобы, погрузив гуманитария в дебри сложного, поставить на нем несмываемой краской: “Тупой и неспособный”.

Многие задачи в новом учебнике начинаются не со слов “решите” или “докажите”, а более мягких: “обьясните, как вы понимаете.., подумайте”. …Теория вероятности подается через увлекательную переписку ее авторов Паскаля и Фермы.

В общем, если на Западе подобные учебники для гуманитариев создаются по принципу “тех же щей, но пожиже влей” (они урезают и без того куцую программу по математике средней школы: в США она равна нашим восьми классам), то новый российский учебник смог заставить задуматься Министерство образования РФ: а нужен ли гуманитариям, которые будут по нему учиться, обязательный письменный экзамен по математике? Задуматься о том, что важнее гуманитарию: получить широкое математическое образование, докопаться до философских корней этой науки, которая первой вышла из культуры, или набить руку на решении уравнений? Ведь этот экзамен можно было бы сделать экзаменом по выбору. Экзаменом лишь для тех, кто еще не уверен в том, в какой вуз будет поступать: технический или гуманитарный.

Правда, в среде рецензентов высказывалось мнение, что по этому учебнику вообще невозможно подготовиться к традиционному письменному экзамену. Но ведь экзамен может проходить и в нетрадиционных формах: собеседования, реферата, тестирования.

…Наталья Евгеньевна Федорова, один из авторов учебника, рассказывала мне, что, готовя книгу, она и ее коллеги пересмотрели колоссальное количество программ по математике для школ России (до- и после-революционного периода). И они убедились: программы были разными, так как были рассчитаны на детей с разными жизненными ориентирами. В тридцатых годах в стране была введена единственная программа для школы. Она стала стартовой площадкой для первого космического спутника Земли. Однако одновременно и прокрустовым ложем, на котором автоматически отсекалось уважение ребенка-гуманитария к самому себе.

Кстати, уже появилась в продаже методичка для нового учебника, и скоро выйдет учебник для одиннадцатого класса… И от того, насколько быстро и прочно он войдет в практику школ, зависит, долго ли еще двойка по математике будет решать судьбу миллионов российских детей, которых с детства пугают страшные слова: “алгебра”, “геометрия”…

Ирина РЕПЬЕВА

Два равняется трем

роанализировав учебник “Математика-6” авторов Э.Р.Нурка и А.Э.Тельгмаа, приходишь к выводу: несмотря на положительные стороны, в нем много серьезных ошибок и недочетов. Настораживает запись на второй странице: “Учебник получил премию на Всесоюзном конкурсе учебников по математике для средней общеобразовательной школы”. За что? Язык учебника доступен учащимся, в процессе изложения материала решено много примеров и задач с соблюдением методики, задания в конце параграфа разделены на два раздела по сложности. Однако в учебнике встречаются существенные ошибки: грамматические, математические, логические, методические и другие.

В N 589 предлагается ученикам решить (устно) уравнение: – y = 9. Учащиеся такое уравнение решить не смогут, так как они незнакомы с отрицательными числами. Такое же уравнение предлагается и в других номерах.

В N 736 сказано: “Найти значение буквы, чтобы равенство было верным: |a| = -7”.

Нет таких значений буквы “a”, так как модуль любого числа не может быть отрицательным числом.

В N 830 ученику предложено начертить на координатной плоскости квадрат по следующим точкам:

А (-2; 1), В (3; 1), С (3; -4) и Д (-2; 4).

Только при Д (-2; -4) можно построить квадрат АВСД.

В N 1063 предлагается решить уравнение: 0,5(2х + 4) = х +3.

Пытаясь решить данное уравнение, ученики получают 2=3, то есть исчезает переменная. Уравнение не имеет решений. Однако в параграфе 6.13 “Решение уравнений” об этом ничего не сказано.

Подобных ошибок в учебнике много. А логические?

При решении задачи N 428 получается, что книга содержит 187,5 страницы, а при решении задачи N 609 получен ответ 21,9375 руб.

В задаче N 732 надо было написать: “Расстояние от флагштока до первого пионера = 2 м” (а не от флага). Еще больше в учебнике методических ошибок. Вместо “смешанных чисел” написано “смешанные дроби”. При изучении отрицательных чисел вводятся числа +0 и -0, которые нигде не встречаются и не употребляются. Неудачно подобран пример на обьяснение отрицательных чисел.

Недостаточно раскрыты отдельные темы учебника. Например, тема “Масштаб”. Здесь приведен только масштаб уменьшения вида 1:100, 1:500. Но есть же и другие масштабы. Задача N 769 (старинная задача Л.Ф.Магницкого) написана на старославянском языке. Надо было дать перевод.

Некоторые авторы учебников и сборников задач по математике в конце дают ответы наиболее трудных примеров и задач и даже указания, как их решать. Хотя в данном учебнике таких примеров и задач 56 (они указаны звездочками), но нет ни одного ответа.

Подобные ошибки не делают учебник престижным. Поэтому правильно поступают те учителя, которые изучают математику в 6-м классе по учебнику Н.Виленкина и других.

Алигаджи АХМЕДОВ,

учитель-методист

с.Ходжалмахи,

Левашинский район,

Республика Дагестан

Комментарий

Прочитав письмо учителя-методиста Ахмедова А.М., содержащее подробный анализ недостатков учебника Нурка и Тельгмаа “Математика-6”, нельзя не согласиться с рядом высказанных замечаний.

Учебник получил премию, так как в свое время, когда он был написан, были недостаточно разработаны вопросы дифференциации обучения математике. Разделение задач на две группы сложности явилось одной из причин того, что учебник получил премию на Всесоюзном конкурсе учебников по математике.

Согласен с автором письма, что упражнение N 589, содержащее уравнение – y = 9, не соответствует последовательности изложения материала, т.к. знакомство с отрицательными числами предусмотрено этим учебником значительно позже.

Теперь о некоторых возражениях: упр. N 736 вполне обоснованно ввиду того, что прохождение тем “Противоположные числа” и “Модуль числа” позволяет ученикам заключить, что уравнение |а| = -7 корней не имеет.

Действительно, в N 830 допущена опечатка. Для того чтобы построить квадрат АВСД, точка Д должна иметь координаты (-2; -4). Правильно замечено, что уравнение 0,5(2х + 4) = х + 3 (в N 1063) не имеет корней и о таких случаях в теоретической части учебника даже не упоминается. Однако данное упражнение включено в группу Б по сложности, поэтому учитель всегда может дополнить определение “Что значит решить уравнение”, используя данное упражнение. Можно согласиться с автором, что задачи N 428, N 609 составлены неудачно, так как приводят к практически не существующему результату.

Относительно того, что надо писать “смешанное число” вместо “смешанная дробь”, автор не прав. Например, в новом учебнике под ред. Г.В.Дорофеева и И.Ф.Шарыгина “Математика-5” на стр. 176 используется понятие “смешанная дробь”.

Старинная задача Л.Ф.Магницкого (N 769), записанная на старославянском языке, вполне понятна и без перевода, по крайней мере учителю. То, что она приведена на языке оригинала, служит дополнительным методическим приемом для развития интереса учеников к предмету. Отсутствие ответов к наиболее трудным задачам, конечно, – недостаток учебника. Но, помимо недостатков, учебник имеет и свои достоинства. В нем доступно изложен учебный материал, структура содержания проста и логична. Материал не перенасыщен алгебраической символикой, которую ребенок этого возраста воспринимает с трудом. Все это говорит о том, что учебник можно использовать в классах с пониженной математической подготовкой.

Престиж учебника зависит от многого и складывается годами. Любой даже самый хороший учебник имеет свои достоинства и недостатки. Поэтому учителю надо подходить творчески к преподаванию: при подготовке к урокам использовать разные учебники и пособия. Тем не менее подробный анализ методических недочетов учебника Э.Р.Нурка и А.Э. Тельгмаа будет полезен тем учителям, которые по нему работают. Хорошо, если бы автор письма высказал свою точку зрения также и относительно других учебников.

Алексей АЗЕВИЧ