На чтение: ≈ 12 мин.Мы продолжаем заседания в нашем клубе «Пифагор». (См. «УГ», №11 от 22 марта 2005 г.) Сегодня мы расскажем об удивительной легенде, связанной с рождением Пафагора, и, конечно же, поговорим о том, как Пифагор пришел к доказательству своей знаменитой теоремы.
Вот что рассказал своим друзьям Телавгу и Гиппию старец Лисид.
– Жил да был в Древней Греции купец по имени Мнемарх. Однажды накупил Мнемарх товаров, чтобы плыть в дальние страны. В те времена плавать по морям было опасно: буря могла разбить корабль, финикийские пираты нападали на путешественников и захватывали их в плен.
Чтобы узнать будущее, можно было обратиться к оракулу – предсказателю. Оракул гадал по внутренностям жертвенных животных, по полету птиц и другими способами. Иногда оракул закрывал глаза и говорил какие-то непонятные слова. Надо было разгадать эти слова – в них заключалось предсказание.
В городе Дельфы оракулом была женщина. Ее звали Пифия. Она не говорила загадками, а просто-напросто каждому объясняла, что с ним случится. Такая была замечательная предсказательница. И Мнемарх поплыл в Дельфы.
– Что произойдет со мной? – спросил Мнемарх. – Будет ли удачным мое путешествие?
– Очень удачным, – ответила Пифия. – Потому что, когда ты вернешься домой, ты получишь подарок, о котором заботится само Небо. И это подарок не только для тебя, но и для многих людей, которые даже еще не родились…
– Что же это за подарок такой, а, Пифия? – спросил Мнемарх.
– Потом узнаешь, – улыбнулась она.
В этом путешествии у Мнемарха все получилось как нельзя удачно. Плавание было долгое, с полгода. Все товары свои Мнемарх продал, финикийцев на море не встретил, получил большую прибыль и наконец возвратился на свой родной остров Самос.
Когда Мнемарх открыл дверь своего дома, он услышал тоненький писк: «Уа! Уа!» Оказалось, его жена Парфенида родила ему сына.
Тут-то и вспомнил Мнемарх предсказание Пифии о «подарке, о котором заботится само Небо». Он прижал к сердцу младенца, но тут раздался стук в дверь. Это был Арисмондий, жрец Аполлона, мужчина статный и на вид мудрый.
– Я полагаю, этот ребенок – сын самого бога Аполлона, – сказал жрец.
– Как ты можешь такое утверждать? – спросил Мнемарх.
– Так можно истолковать слова Пифии, – ответил Арисмондий. – Кроме того, Парфенида настолько умна, красива и благородна, что достойна самого высокого жребия. Очень редко, но так случается, что отец родившегося ребенка – не его родной отец, а какой-нибудь бог. Например, великий герой Геракл, совершивший двенадцать подвигов, был сыном самого Зевса, главного бога Олимпа. Это очень почетно для земных родителей. И нет сомнения, что этот малыш – сын Аполлона: посмотри на его сверкающие глазенки, посмотри, какие длинные у него волосики! А какие хорошенькие ручки и ножки! Давай же назовем его Пифагором в честь Пифии, а Парфениду отныне будем звать Пифаидой. Ты согласна, женщина?
И Арисмондий с улыбкой взглянул на будущую мать. Та лишь кивнула.
– Тогда не забудь, – обратился жрец к Мнемарху, – принести богатую жертву храму Аполлона в знак благодарности и смирения пред волей богов.
Вот так на земле в древние времена, в Греции, на зеленом острове Самос родился мальчик со странным именем Пифагор, который стал одним из величайших людей Земли, а жрец Арисмондий не преминул на этом еще и «заработать»… Говорят, Арисмондий умер от жадности и обжорства…
Однако будем справедливы: странное имя, придуманное Арисмондием, по воле судьбы оказалось не таким уж плохим. Между прочим, в честь Пифагора названо число «пи». А греческая буква «гамма», которая тоже есть в имени Пифагора, означает разделение дороги, точнее, жизненного пути надвое. Ибо перед каждым человеком рано или поздно встает вопрос о Добре и Зле.
Пока наш Пифагор еще маленький, но придет время, и он глубоко задумается над путями, которыми идут человек и человеческое общество. Много лет придется провести Пифагору в скитаниях по разным землям и странам, пока он не возвратится домой, нищий, больной, старый, исхудавший до последней степени, заросший седыми волосами, в лохмотьях… И никто уже не мог вспомнить в этом кажущемся стариком страннике прежнего юного и веселого Пифагора, да и некому было бы вспоминать. Только сияющие глаза, наверно, выдавали в нем великого человека.
В то время, хотя Ойкумена еще не знала имени Пифагора, сам Пифагор уже знал, что жизнь его будет посвящена служению знанию и красоте… Через несколько лет он подарит миру доказательство своей великой теоремы.
Каким оно было? Может быть, таким?
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом в вершине В. Проведем высоту из вершины В, и пусть она пересечет гипотенузу в точке D.
Легко убедиться, что треугольники АDВ и BDC подобны: если прибавлять к углу А углы ABD и ACB, будут получаться углы в 90о, так что углы ABD и ACB равны. Да еще у каждого треугольника – прямой угол. Воспользуемся теперь признаком подобия по двум углам. Да и сам тругольник АВС тоже им подобен (ну это уж совсем очевидно).
Теперь вспомним принцип, согласно которому площади подобных фигур относятся как квадраты сходственных (соответствующих при подобии) сторон. Это означает, что квадраты сходственных сторон нужно в одинаковое количество крат увеличить или уменьшить, чтобы получить эти площади. Значит: S(ABC) = kAC2, S(ADB)=kAB2, S(BDC) = kBC2, где k, то есть степень увеличения или уменьшения, – одно и то же число.
Так как в нашем случае S(ABC)=S(ADB)+S(BDC), то есть kAC2=kAB2+kBC2, достаточно сократить на k, чтобы получить окончательный результат: AC2=AB2+BC2. Удивительная особенность этого доказательства в том, что не требуется ничего достраивать, разрезать, складывать, вычислять… Все получается как-то уж слишком просто. Даже не верится, что так вот «без всего» можно доказать такую великую теорему. Но, знаете, вероятно, настоящие доказательства и должны быть такими – невероятно простыми. Настолько простыми, что даже и не понятно.
Так ли доказал эту теорему в свое время Пифагор? Или по-другому? Мы не знаем. Существует немало доказательств, несколько сотен. В свое время мы познакомимся с некоторыми из них и удивимся изобретательности их творцов. А теперь…
Удивительные факты
1. Совершенными числами с легкой руки Пифагора называют те, сумма собственных делителей у которых равна самому этому числу. При этом собственными называют все делители, кроме самого числа. Так, например, 6 = 1+2+3, 28=1+2+4+7+14.
Великий русский писатель Лев Толстой часто хвастался, что родился 28 августа 28 года (на самом деле 1828 года). Но вряд ли писатель знал, что если поменять местами первые две цифры года его рождения, то получится 8128 – тоже совершенное число! (Сами посчитайте).
Первые четыре совершенных числа знали в глубокой древности: 6, 28, 496,8128. Хотите узнать пятое число? Сами посчитаете? Ну-ну. Для остальных привожу ответ: 33 550 336.
2. А эту задачу решите устно (разрешается сделать чертеж).
Даны два равнобедренных треугольника. Стороны первого равны 5,5,8, стороны второго – 5,5 и 6. Какой из треугольников по площади больше?
Напишите нам, как вы решили эту задачу.
3. А эта история путешествует по интернету.
3 женщины решили купить чайник, который стоит 30 долларов, и скинулись по 10 долларов. Полученные деньги отдали четвертому сотруднику, который и пошел покупать чайник. Оказалось, что чайник стоит 25 долларов. Вернувшись, покупатель стал возвращать 5 долларов сдачи. Но как поделить 5 на 3? Поэтому он каждой женщине отдал по 1 доллару (всего получается 3), а себе взял 2 оставшихся.
Итак, каждая женщина получила обратно по 1 доллару. То есть вместо 10 потратила 9 долларов. Во сколько же обошелся чайник женщинам? Правильно, в 9х3 = 27 долларов. К ним прибавляем 2 доллара, которые покупатель чайника положил себе в карман. Получается 29 долларов.
Вопрос: где тридцатый доллар?
Повторим, что за решение задач у нас полагаются ценные призы.
Высказывания Пифагора (акусмы)
1. Берегите слезы ваших детей, дабы они могли проливать их на вашей могиле.
2. Будь другом истины до мученичества, но не будь ее защитником до нетерпимости.
3. Во время гнева не должно ни говорить, ни действовать.
4. Живи с людьми так, чтобы твои друзья не стали недругами, а недруги стали друзьями.
5. Молчание прекрасно. Молчи, если не можешь изречь то, что было бы прекрасней молчания.
6. Просыпаясь утром, спроси себя: «Что я должен сделать?», засыпая вечером, спроси: «Что я сделал?».
7. У друзей все общее, и дружба есть равенство.
Выбор читателей
Комментарии