Круги Лейбница. Информатика. 10-й класс

Цели урока: 1. Дать учащимся понятие математической логики и основных терминов. 2. Привитие математической культуры. 3. Показать логику решения задач. 4. Настроить на продуктивную работу в дальнейшем.

Тема: Введение в математическую логику.

Оборудование: Терминальный класс IBM – WINDOWS, мультимедийный проектор, локальная сеть (сетевые диски).

Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Работа учащихся по новой теме (самостоятельная).

3. Новая тема (объяснение учителя).

4. Разбор задач.

5. Подведение итогов. Домашнее задание.

1. Оргмомент – 2 мин.

Сегодня мы с вами, ребята, начинаем изучать очень важную новую тему – «Основы математической логики». Сразу хочу предупредить вас, что тема эта не из легких, будьте внимательны.

2. Работа учащихся по новой теме (самостоятельная) – 5 мин.

Начнем мы с вами с того, что вы, используя сетевой электронный ресурс кабинета «Консультант», поработаете самостоятельно с разделом «История логики». А затем мы продолжим работу с вами вместе. На это у вас около 5 минут. Начинаем.

Содержание файла «История логики»:

Как самостоятельная наука логика оформилась в трудах греческого философа Аристотеля (384 – 322 г. до н.э.).

Он систематизировал известные до него сведения, и эта система стала впоследствии называться формальной, или Аристотелевой логикой. Формальная логика просуществовала без серьезных изменений более двадцати столетий.

Математика является наукой, в которой все утверждения доказываются с помощью умозаключений, то есть путем использования законов человеческого мышления. В связи с этим математика являлась основным потребителем логики. Очевидно, поэтому развитие математики выявило недостаточность Аристотелевой логики и поставило задачу о ее дальнейшем построении на математической основе.

Впервые в истории идеи о таком построении логики были высказаны немецким математиком Готфридом Лейбницем в конце XVII века. Он считал, что основные понятия логики должны быть обозначены символами, которые соединяются по определенным правилам, и это позволяет всякие рассуждения заменить вычислением.

Джордж Буль (1815 – 1864 гг.) создал алгебру, в которой буквами обозначены высказывания, и это привело к алгебре высказываний. Буль рассматривал алгебру как инструмент изучения законов человеческого мышления, то есть законов логики.

3. Новая тема (объяснение учителя) – 5 мин.

Введение символических обозначений в логику имело для этой науки такое же решающее значение, как и введение буквенных обозначений для математики. Именно благодаря введению символов в логику была получена основа для создания новой науки – математической логики.

Предметом математической логики служат в основном рассуждения. При изучении она пользуется математическими методами.

Однако главное назначение математической логики определилось в конце XIX века, когда стала ясна необходимость обоснования понятий и идей самой математики.

Коротко говоря, математическая логика – это наука о средствах и методах математических доказательств.

4. Разбор задач – 25 мин.

А теперь рассмотрим несколько типичных логических задач.

После постановки задачи учитель пытается подвести ребят к правильному выводу, если они самостоятельно этого не могут сделать. Решение задач проходит в режиме обсуждения. Можно разбить группу на мини-группы, которые после работы внутри высказывают свое решение. Важно показать на первом занятии, что ЛОГИКА важна не только в математике.

Пример 1. Зависит ли скорость свободного падения от массы тела

Средневековый ученый Галилео Галилей открыл важный физический закон, что ускорение свободного падения – это фундаментальная величина, не зависящая от массы тела, иначе говоря, все тела падают с одинаковым ускорением, не зависящим от их массы (если, конечно, не учитывать сопротивление воздуха). Этот факт Галилей открыл экспериментально, бросая ядра разной массы с наклонной башни в городе Пиза.

Нет ничего удивительного в том, что Галилей открыл закон, анализируя экспериментальные данные, а сейчас мы сделаем невероятное, мы откроем тот же закон, просто рассуждая:

Ясно, что существуют только три возможности:

Более массивное тело падает быстрее, чем более легкое.

Более массивное тело падает медленнее, чем более легкое.

Тела разной массы падают с одинаковым ускорением.

Что вы думаете по каждому из этих пунктов?

Если ребята затрудняются, учитель помогает им применить знания физики для решения этой задачи.

1. Предположим, что более массивное тело падает медленнее. Возьмем ядро, разрежем его на две равные части, соединим и бросим с башни. Так как части ядра не соединены друг с другом и каждая часть легче целого и масса их одинакова, то они должны падать быстрее, чем целое ядро. Если же мы разрежем ядро на четыре части, то оно упадет еще быстрее, следовательно, увеличивая количество разрезов, мы увеличиваем скорость падения ядра. Большая скорость падения соответствует большей кинетической энергии. То есть простое распиливание ядра привело к увеличению кинетической энергии, что противоречит закону сохранения энергии. Получили противоречие. Следовательно, более массивное тело не может падать медленнее более легкого.

2. Теперь предположим, что более массивное ядро падает быстрее. Повторив рассуждения, мы придем к выводу, что простое разрезание приводит к уменьшению кинетической энергии, что также противоречит закону сохранения энергии.

3. Остается единственная возможность: это тела разной массы падают с одинаковым ускорением, что и требовалось доказать.

А вот еще одна задача, которая на первый взгляд кажется не совсем разумной. Но таких задач хватает и в нашей жизни.

Пример 2. Парадокс парикмахера

Предположим, что в некоторой деревне живут мужчины, про которых известно, что они либо бреются сами, либо их бреет парикмахер. Парикмахер живет в этой же деревне.

Вопрос: Кто бреет парикмахера?

Предлагается сначала ребятам самим высказать свои суждения.

Рассуждения. Возможны два варианта ответа на поставленный вопрос: парикмахер бреется сам и его бреет кто-то другой. Рассмотрим эти два варианта:

1. Парикмахер бреется сам. Тогда он мужчина, который бреется сам, но таких мужчин парикмахер не бреет. Отсюда следует, что парикмахер себя не бреет. Получили противоречие.

2. Парикмахера бреет кто-то другой. Тогда парикмахер – мужчина, который сам не бреется, но всех таких мужчин в деревне бреет парикмахер. Отсюда следует, что парикмахер бреется сам. И мы опять получили противоречие.

Оба возможных варианта привели к противоречию. Таким образом, ответа на такой, казалось, простой вопрос не существует.