Конечная арифметика

​Время – 1900 год. Место – Париж. Действие – международный математический конгресс, на котором Давид Гильберт озвучил свои знаменитые 23 проблемы, которые предстояло решить математикам в двадцатом столетии.

Во вступительной части своей речи Давид Гильберт произнес такие слова: «Кто из нас не хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее, чтобы хотя бы одним взглядом проникнуть в предстоящие успехи наших знаний и тайны его развития в ближайшие столетия?»Настоящее – есть точка соприкосновения прошлого и будущего. Прошлого с его поставленными вопросами, проблемами, задачами, разработанными теориями и будущего с его кругом аналогичных, требующих проникновения в суть вопросов. Может, поэтому для меня эта связь времен символизируется знаком бесконечности: этими двумя касающимися, перетекающими друг в друга посредством настоящего кругами. Возможны две основные задачи: поставленная прошлым проблема требует разработки новых теорий или синтезирования уже известных или, наоборот, разработанная теория еще не нашла своего применения или воплощения. В качестве примера первой ситуации достаточно было бы вспомнить Великую теорему Ферма, а открытие геометрий Лобачевского и Римана реализовалось впоследствии в теориях относительности Эйнштейна. Я рассмотрю сегодня некоторую давно известную теорию и возможные ее применения в прикладных областях.Говорят, что до сих пор некоторые племена Австралии считают парами. Это не современная двоичная система исчисления в исполнении аборигенов, а пронесенная сквозь века традиция: исчезновение двух фруктов из множества аналогичных фруктов останется незамеченным, а вот пропажа одного может повлечь весьма печальные последствия. Аборигены не всегда понимают шутки! Во все времена вопросы арифметики и ее применения оставались актуальными, а некоторые возможности ее использования приходили на ум много позже, чем навыки счета. Мы сегодня на некоторое время станем аборигенами и займемся КОНЕЧНОЙ АРИФМЕТИКОЙ!Сколько существует чисел? Несомненно, вы правы: бесконечно много. Как вы думаете, если бы существовало не бесконечно много чисел, а, например, всего пять, то арифметика была бы более простой? Уже не столь однозначно, ибо вы начинаете искать подвох. Правильно, если есть учитель, то должен быть и подвох! Давайте рассмотрим набор из чисел 0; 1; 2; 3; 4. Какой получим ответ, если мы 2 умножим на 3? Шесть?! Забудьте это! Не навсегда, а только на двадцать минут. Такой ответ невозможен, такого числа в нашем наборе нет! На самом деле мы получим 1. Почему? Об этом – позже, может, и сами догадаетесь, если будете внимательны. А если мы к 2 прибавим 3? Или вычтем, а еще интереснее будет разделить… У нас сегодня аборигенская конечная арифметика. Сейчас мы составим с вами таблицу сложения. Как видите, ничего сложного! Даже переместительный закон сложения выполняется! А какие-либо догадки о том, как получаются результаты сложения, у вас появились? Можете их отметить в своих записях! А теперь – учимся вычитать! Вспомним, что вычесть из числа А число В означает найти такое число С, которое… при сложении с числом В дает число А. Например, по школьному курсу: 2-3 =?К какому числу надо прибавить 3, чтобы получить число 2? Конечно, это число (-1). А в нашей с вами арифметике? Кто сможет найти ответ? Пользуйтесь, пожалуйста, таблицей и правилом вычитания. Ваши версии! Кто получил 4, тот уже готов получить хорошую оценку в журнал. У кого с вычитанием проблемы, посмотрите на таблицу. Мы должны найти число 2 в столбце, в котором написано число 3. Теперь посмотрим на строчку: к какому числу мы прибавили 3 и получили 2. Правильно, это число 4. Еще раз, пожалуйста! 0-4=1. Нет, я еще не сошел с ума, но стереотипы заложенной нам в детстве арифметики явно нам мешают. Эх, время, время, времечко… Представляете, как непросто учиться детям в бесконечной арифметике, если нам непросто работать в конечной арифметике, в которой всего 5 чисел. Еще разочек: найдите результат вычитания: 3-4=? 2-1=? Иногда результаты совпадают со школьным курсом, а это радует. Вычитание в нашей с вами арифметике проще, чем в школьной! И не надо так подозрительно улыбаться! Вспомните, как наши школьники мучаются с отрицательными числами, а у нас с вами получаются исключительно положительные результаты.Растем вместе: переходим к таблице умножения. Сколько будет дважды два? Правильно сомневаетесь, но будет четыре. Хоть этим вас порадую. А теперь вместе будем ее заполнять, задумываясь над общим принципом, чтобы потом связать нашу аборигенскую арифметику с детской цивилизованной арифметикой. Если появились какие-то идеи относительно появления чисел в этой таблице, не забудьте отметить их на ваших рабочих листах. За умножением следует деление. Разделить число А на число В – значит найти такое число С, при умножении которого на В мы получим число А. Из привычного: 8:2=4. Мы получили ответ, исходя из умножения: какое число при умножении на 2 дает число 8. В нашей конечной арифметике такого большого числа, как 8, нет, поэтому ожидаем, что у нас все будет проще. Выполните, пожалуйста, действие: 2:3=? Какое число при умножении на 3 дает число 2? Выделяем столбец с числом 3, ищем в нем число 2 , а теперь находим ответ. Получили число 4. Все уже ожидаемо. Повторение: 3:2=? Снова получаем число 4. Вспомним, что в нашей с вами арифметике не было отрицательных чисел, поэтому и вычитание было более простым. А исходя из результатов деления, каких еще чисел не будет в нашей арифметике? Конечно, дробных! И снова проще!Построенная нами арифметика обладает всеми законами классической, привычной нам арифметики: переместительными, сочетательными и распределительными законами. На ее основе можно научиться решать квадратные уравнения. Их будет конечное количество (около сотни), то есть то, к чему мы так стремимся, и радостный школьник сказал бы, что за время обучения он решил все квадратные уравнения!Всего 5 чисел. Мешала работе с ними, согласитесь, наша привычка к другой арифметике. Конечно, между ними, арифметиками, есть связь. Что таблица сложения, что таблица умножения построены на принципе: результатом является число, равное… Чему? Может быть, вам помогут ваши записи? Результатом является число, равное остатку от деления на 5. 2х3=6, 6 при делении на 5 дает 1. Поэтому и 2х3=1. Говоря более мудрыми математическими словами, это так называемая арифметика по модулю 5. Из этого следует, что можно построить любую конечную арифметику: и из 6, и из 26 чисел, используя аналогичным образом остатки.Кажется, что мы просто играли во что-то, и время, нами потраченное, было больше временем любопытства, заинтересованности, и полученный результат не окупает затраченных усилий. Но часто случается, что первые выводы бывают поспешными. Вспомним хотя бы, что арифметика из двух чисел лежит в основе программирования: 0 и 1. Кроме этого весьма современная область математики, как теория полей Галуа, основана на аналогичных принципах. Время само порой расставляет акценты, превращая игры разума в необходимость. Фильтрация шумов – область конечной математики. А еще… Поговорим об агропромышленном комплексе как одной из возможных задач статистического контроля. Наша с вами цель – определить наиболее плодородный сорт пшеницы. Казалось бы, эка невидаль: кинули по зернышку – получили результат. Однако на урожай влияет не только сорт пшеницы, но, например, почва, солнечность. Поэтому если на одном из участков вы получили, что лучший результат приносит пшеница А, то из этого не следует, что пшеница А – наилучшая. Необходимо каждый сорт посадить на различных участках (статистическая задача, в результате решения которой присваивается так называемый вес результата, учитывающий и влияние внешних факторов). И здесь на помощь приходит конечная арифметика. Используем наши с вами достижения в арифметике по модулю 5. Разобьем поле на 4 участка: С-З; С-В; Ю-В; Ю-З, каждый из которых поделим на 25 мини-участков, расположив следующим образом: первая строка везде одинакова, а первый столбец взят из таблицы умножения:Теперь дозаполним оставшиеся мини-участки, пользуясь таблицей сложения или арифметикой по модулю 5 (например, 2+1=3=3 (mod5); 3+4=7=2 (mod5).Каждому числу (а всего их пять) сопоставим 5 сортов пшеницы. Согласитесь, в глазах рябит и непонятно, зачем мы это делаем. Попробуем разобраться и выделим, например, Ю-З-участок:Посмотрите, пожалуйста, внимательно. Может, вы сумеете заметить некоторые особенности данного разбиения? Конечно, в каждой строчке, впрочем, как и в каждом столбце, встречается по одному разу каждое из чисел (то есть сорт пшеницы). Например, выделим первый сорт пшеницы.Следовательно, изменение плодородия почвы в направлениях запад-восток или север-юг никак не скажется на средней урожайности каждого сорта. Более того, сопоставим данному квадрату соседний и выделим те же самые позиции:Весьма занятная картинка получается, не правда ли? А ведь такое замещение справедливо для любого числа и любого квадрата. Мы обеспечили равноценность эксперимента для любого сорта пшеницы. Следовательно, наш вывод относительно урожайности каждого сорта будет объективен.Кажется, мы решали некоторую головоломку. Однако данное размещение носит гордое название «ортогональные латинские квадраты» и является задачей большой практической важности.Любая научная теория изначально представляется некоторой игрой со своим словарем, правилами, последовательностью ходов (действий)… Но если время показало связь этой теории с окружающим нас миром, сделало возможным ее практическое использование, то эта теория становится частью научного знания.«Было мало времени, чтобы доказать это. Но у моих последователей будут столетия, чтобы решить указанную проблему…» (Р. Декарт)Алексей ЗУБОВ, учитель математики школы №1741, обладатель грантов ПНПО, мэра Москвы, лауреат конкурса «Учитель года Москвы»