Интеграл без понятия предела – беспредел, или Зачем математика водопроводчику

Когда пытаешься объяснять неочевидные вещи, пользуясь метаформами, считается, что это нестрого. На самом деле даже самая полная и современная математическая строгость в сознании математика рождает поэтические образы, совершенно не четкие, но порой очень интересные. Без этого не обойтись: формула – это просто несколько букв на бумаге, червячок интеграла и полузнакомые слова вроде: “В общем случае обозначим это соотношение, используя аналогичную теорему при указанных условиях” (Г.Е.Шилов, “Математический анализ”, часть 1-2, стр. 379). К этому необходимо добавить немного поэзии, иначе как с этим работать?
Между тем строгость в математике нужна, и можно (в качестве гипотезы, очевидной для всех, кто к этому имеет отношение) выдвинуть Принцип Двойного Усиления: если вы хотите увеличить строгость, необходимо увеличить метафоричность, и наоборот: текст логически разваливается, если в нужный момент не пустить в ход формулы. У читателя возникает неудовлетворенность: вроде бы что-то прочитал, но разве это наука?
Итак, почему бы не поработать с метаформами СОЗНАТЕЛЬНО? Ну, например, в теме о пределе функции?
К сожалению, если понятие определенного интеграла приводится, как это “модно” стало после Л.Понтрягина, без ссылки на предел функции, Принцип Двойного Усиления нарушается и детям не хватает четкого представления о том, как “работать” с бесконечностью, как, не путаясь в противоречиях, переходить от столбиков, имеющих некую конечную толщину, к столбикам “бесконечно узким”. Что такое – эта “бесконечная узость”, вообще “бесконечная малость”? Ноль это или не ноль?

Сначала рассмотрим предел последовательности. Рассмотрим такую метаформу. Пусть пушка стреляет из точки А в направлении цели В. С каждым разом пушка, обладающая способностью самонаведения, стреляет все лучше и лучше. Это свойство пушки можно сформулировать так: начиная с какого-то n-го выстрела снаряд всегда будет попадать не дальше какого-то расстояния от цели В. Повторю еще раз, потому что это очень важно. Мы задаем расстояние (пусть самое маленькое!) и, например, ставим два колышка – спереди и сзади от цели В, и пушка начинает стрелять. Она может стрелять долго, иногда она будет попадать в зону, потом снова промахиваться, но, начиная с какого-то выстрела N, она уже всегда будет попадать в зону между колышками.

Теперь становится ясно: пределом последовательности an называется такое число A, что для любого заранее заданного числа e > 0, начиная с какого-то номера N, все члены последовательности будут располагаться от A на расстоянии не больше e . Внутренний голос скажет нам теперь, как понять эти греческие буквы. Больше того, если мы теперь скажем, что такая пушка может стрелять и в бесконечность, то ясно, что колышек должен быть только один, и мы его можем отставлять на произвольное расстояние. И рано или поздно пушка начнет стрелять дальше колышка. Хорошая пушка, можно писать строгое определение.
Последовательность есть функция от натурального числа. Поэтому теперь легко понять, что такое предел функции при стремлении действительного аргумента x к бесконечности (нужно только n заменить на x). Это какая-то лазерная пушка непрерывного действия.
Предел функции f(x) при x, стремящемся к бесконечности, есть такое число P, что для любого заранее заданного (а следовательно – сколь угодно малого) d > 0 существует такое число N, что если d> N, то значение функции отличается от P не более чем на d.
Например, функция sin(x)/x при стремлении x к бесконечности стремится к нулю, что легко видим на следующем графике:

Например, задавая d = 0,05, мы видим, что есть число (например, 25), все значения функции справа от которого попадают в заданный “коридор значений”, d можно задать еще меньше, но все равно нужное число N можно отыскать. Это записывают так:

Но в основных определениях в математическом анализе аргумент D x стремится к нулю. Прежней метафоры (про пушку), будь она хоть какой, хоть какой, хоть лазерной, хоть суперпневматической, – НЕ ХВАТАЕТ.
Теперь представим себе водопроводчика с большим количеством водопроводных труб. Его задача – каждый раз подбирать трубу меньшего диаметра (и истинные водопроводчики оценят актуальность задачи!). Меньший диаметр нужен, чтобы вся вода из одной трубы попадала в другую. У квалифицированного водопроводчика, какова бы ни была труба, которую ему дали, найдется более узкая труба! А теперь – определение предела.
Число P есть предел f(x) при x, стремящемся к нулю, если для ЛЮБОГО заранее заданного d > 0 НАЙДЕТСЯ e > 0, так что если x, отличается от нуля меньше чем на e , то f(x) отличается от P меньше чем на d. Например, функция x[sin(x)]+3 при x, стремящемся к нулю, стремится к 3, что показывает следующий график:

Например, если задан “размер трубы” d = 2, то “водопроводчик выбирает трубу радиусом” e = 3, и для всех x, отличающихся от нуля не более чем на e = 3, все значения f(x), то есть “все воды из взятой им трубы”, попадут туда, куда надо, что записывается так:

Таким же точно способом можно определить предел при стремлении x к любому числу.
Так что порой слесарю-водопроводчику легче понять такую таинственную штуку, как предел функции, чем самому продвинутому юному вундеркинду.
Евгений БЕЛЯКОВ