Геометрия

Поворотная симметрия.

В издательстве “Просвещение” вышел цикл учебников по геометрии авторов А.Д.Александрова, А.Л.Вернера и В.И.Рыжика. Цикл делится на учебники для общеобразовательной школы: “Геометрия. 7-9” и “Геометрия. 10-11” и учебники для школ и классов с углубленным изучением математики: “Геометрия. 8-9” и “Геометрия. 10-11”. Наличие двух пар учебников, написанных одним авторским коллективом с единых научно-педагогических позиций, создает большие возможности для творческой работы учителя.

Изложение геометрии в названных учебниках сочетает наглядность и логичность. В них рассказывается об опытном происхождении геометрии, о возможности практического применения ее результатов, о связях геометрии с искусством, техникой, архитектурой. Появлению каждого нового абстрактного понятия предшествует реальная картина, которая аргументирует необходимость этой абстракции.

Учебник “Геометрия. 7-9” самый простой и краткий среди всех. Аксиоматика А.Д.Александрова позволяет изложить элементарную геометрию весьма кратко. Его аксиоматика наглядна и имеет в своей основе практику, понятную для ученика 7-го класса. Важно, что при желании учитель может познакомиться с детальным построением элементарной геометрии на базе этой аксиоматики по книге А.Д.Александрова “Основания геометрии” (М., Наука, 1987).

В теоретической части “Геометрии. 7-9” выделено небольшое число основных теорем, из которых все остальные необходимые результаты получаются уже как достаточно простые следствия. Так в курсе 7-го класса всего 9 теорем (для сравнения отметим, что в считающемся образцом лаконичности учебнике геометрии А.В.Погорелова в 7-м классе – 19 теорем). В курсе 8-го класса такими основными теоремами являются теоремы о площади треугольника и теорема Пифагора. Основные результаты классической евклидовой планиметрии содержатся в курсах 7-го и 8-го классов. А в 9-м классе рассказано о более современных методах геометрии: координатах, векторах, преобразованиях.

В каждом параграфе учебника после теоретического материала следуют вопросы для самоконтроля и задачи. В практическом материале также выделены основные задачи к каждому параграфу, кроме того, в каждом параграфе есть развивающие задачи. Среди них много задач на работу геометрического воображения. Практическая сторона геометрии также представлена весьма разнообразно: здесь и задачи на конкретные построения фигур, и задачи с реальным содержанием, и задачи о различных величинах, что важно и для математики, и для физики. В целом о задачах можно сказать, что они доступны и интересны.

Начиная с первых страниц учебника, параллельно с изложением систематического курса в учебнике ведется рассказ об истории геометрии от первых египетских геометров – землемеров и великих математиков Древней Греции до создателей неевклидовой геометрии – Гаусса, Лобачевского, Бойяи.

Таким образом, авторы рассматривают геометрию не как набор скучных формул и сухих теорем, а как живую развивающуюся науку, необходимый элемент культуры образованного человека.

Предлагаем вашему вниманию фрагменты учебника “Геометрия. 7-9”.

p.s.

В 1997 году в издательстве “Просвещение” выйдет 1-е издание “Геометрия. 10-11” тех же авторов, которое является продолжением этого курса.

Симметрия фигур

Виды симметрии. На рисунке 1,а изображены симметричные фигуры. Каждая из них симметрична относительно некоторой прямой, которая является их осью симметрии. А на рисунке 1,б изображены тоже симметричные фигуры, но другого типа. Они симметричны относительно некоторой точки, которая является их центром симметрии.

Рис. 1

Говорят, что фигура обладает симметрией, если существует движение (не тождественное), переводящее ее в себя. (Тождественным называют преобразование, которое все точки оставляет на месте).

Например, фигура обладает поворотной симметрией, если она переводится в себя некоторым поворотом (рис. 2).

Одна из самых симметричных фигур конечных размеров – это круг. Каждая прямая, проходящая через его центр, является его осью симметрии, а центр круга является центром поворотной симметрии, причем поворот может быть совершен на любой угол.

Рис. 2

Рассмотрим симметрию простейших фигур.

1) Отрезок имеет две оси симметрии и центр симметрии (укажите их).

2) Треугольник общего вида не имеет никакой симметрии. У равнобедренного (но не равностороннего) треугольника одна ось симметрии – серединный перпендикуляр его основания.

3) У равностороннего треугольника три оси симметрии, и он имеет поворотную симметрию с углом поворота 1200 (рис. 3,а).

4) У каждого правильного n-угольника есть n осей симметрии, все они проходят через его центр. Он имеет также поворотную симметрию с углом поворота .

При четном n одни оси симметрии проходят через противоположные вершины, другие – через середины противоположных сторон (и тех и других осей по , рис. 3,б). При нечетном n каждая ось проходит через вершину и середину противоположной стороны (рис. 3,в).

Рис. 3

Симметрия неограниченных фигур. Фигура называется ограниченной, если она вся содержится в круге некоторого радиуса с центром в какой-либо своей точке. Если же фигура не лежит ни в каком круге, то она называется неограниченной. Примеры неограниченных фигур: прямая, угол, полоса и т.д.

До сих пор мы рассматривали симметрию ограниченных фигур. При этом переносы не рассматривались. Оказывается, если фигура переходит в себя в результате какого-либо переноса (на ненулевой вектор), то она неограниченна. (Докажите это).

О фигуре, которая совмещается с собой при некотором переносе, говорят, что она обладает переносной симметрией. Например, прямая имеет такую симметрию, так как допускает перенос вдоль себя.

Интересны неограниченные фигуры, состоящие из правильно повторяющихся конечных фигур, такие, как квадратная сетка, сетка из прямоугольников, или треугольников, или шестиугольников и других фигур (рис. 4,а).

Реально строить неограниченные фигуры невозможно, но можно мысленно продолжить ограниченную фигуру, “перенося” ее части, как, например, мы легко продолжаем мысленно квадратную сетку. Поэтому мы говорим о симметричности “по переносу” стены, выложенной кафелем, паркета и т.п. Так же понимаем симметричность “по переносу” разнообразных орнаментов (рис. 4, б).

Во всех этих примерах фигуры, кроме переносов, допускают еще и другие движения, совмещающие их с собой. Интересно найти самим все движения, которые самосовмещают какой-либо орнамент.

Рис. 4

О симметрии. Слово “симметрия” происходит от греческого и означает “соразмерность”. В таком общем смысле симметрия играет огромную роль в искусстве, особенно ясную в орнаментах и архитектуре. Но ее можно заметить и в музыке, и в поэзии.

Симметрия широко встречается в природе, в особенности у кристаллов, у растений и животных, например симметрия цветка, листа или морской звезды (рис. 5,а,б,в). Поразительные по красоте примеры симметрии дают снежинки (рис. 5,г).

Рис. 5

Симметрия может встретиться и в других разделах математики, например при построении графиков функций. График четной функции симметричен относительно оси y, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат. График периодической функции имеет переносную симметрию вдоль оси x.

Вопросы:

1. Что означает фраза: “Фигура f симметрична”?

2. Какую симметрию имеют: а) параллелограмм; б) прямоугольник; в) ромб; г) равнобокая трапеция; д) угол; е) полоса; ж) сектор; з) сегмент; * и) круг с выколотой точкой?

О значении теоремы Пифагора. Теорема Пифагора – это одна из главных и, можно даже сказать, самая главная теорема геометрии. Значение ее состоит прежде всего в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. В нашем курсе она будет служить основой многих дальнейших выводов. Поэтому ее нужно твердо усвоить.

Теорема Пифагора замечательна еще и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника (рис. 6) можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни гляди на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть такое простое соотношение: с2=а2+b2. Зато это соотношение между соответствующими площадями становится очевидным из построения на рисунках 7,а и 7,б. На них мы видим два различных разбиения одного и того же квадрата q со стороной а + b. На первом из них квадрат q слагается из квадрата со стороной с и четырех треугольников. На втором – такой же квадрат слагается из квадратов со сторонами а и b и таких же четырех треугольников. Исключив и там, и там треугольники, видим, что с2=а2+b2. В этом и состоит самый лучший математический стиль: посредством остроумного построения сделать неочевидное очевидным. В математических трактатах в Древней Индии, доказывая теорему, часто приводили только рисунок. Сопровождали его лишь одним словом: “Смотри!” Запомнить два рисунка нетрудно, а в них вся суть доказательства.

Рис. 6

Рис. 7

“Задачи по планиметрии и методы их решения” – автор Э.Г.Готман.

Пособие для учащихся, рекомендованное Министерством образования РФ.

В сборнике содержится более 600 задач, рассматривается пять основных методов решения планиметрических задач: метод геометрических преобразований, вспомогательных фигур, алгебраический, векторный, координатный. Каждому методу посвящена отдельная глава, в которой дается необходимый теоретический материал, примеры наиболее типичных решений задач и задачи для самостоятельного решения.

Книга предназначена учащимся, желающим углубить свои знания по математике, и может служить пособием для подготовки к математическим олимпиадам и экзаменам в вузы.

“Учитесь мыслить нестандартно” – авт. Абдрашитов Б.М. и др.

Книга для учащихся. Сборник содержит задачи на смекалку, задачи-ловушки, головоломки, а также задачи, требующие для своего решения довольно высокого уровня логического мышления.

Они помогут развить память, внимание, логическое мышление и другие качества, позволяющие нестандартно рассуждать.

Книга адресована самому широкому кругу читателей: прежде всего учащимся, студентам и всем интересующимся занимательными задачами, кому работа головой доставляет истинное удовольствие.

Книги вышли в издательстве “Просвещение”.