Геометрия

Как скульптор Поликлет решал задачи

Деление отрезка в крайнем и среднем отношении

“Геометрия владеет двумя сокровищами. Одно из них – теорема Пифагора, другое – деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Первое можно сравнить с мерой золота, второе же больше напоминает драгоценный камень”, – так когда-то написал знаменитый математик и астроном И.Кеплер о двух жемчужинах геометрии. Очень важная теорема. Известна, пожалуй, любому восьмикласснику, даже мало интересующемуся математикой. А о золотом сечении или делении отрезка в крайнем и среднем отношении и использовании его для анализа творений природы и произведений искусства многим не известно вовсе.

ифагорийцы одни из первых открыли и последовательно применяли сам способ привлечения математики к исследованию окружающего мира, подтвердив тем самым принципиальную способность человека познавать и создавать красоту. Античные математики искали общие закономерности, охватывающие музыкальную гармонию, архитектурные формы, строение неба и многое другое.

Пифагор был одним из первых, кто выразил числом деление отрезка в крайнем и среднем отношении (заимствованное у египтян и вавилонян), которое впоследствии Леонардо да Винчи назвал “золотым сечением”, а итальянский математик Л.Пачоли – “божественной пропорцией”.

Как известно, существует бесконечное множество делений отрезка на две части. И лишь единственный способ такой, что отношение всего отрезка к его большей части равно отношению большей части к его меньшей части.

Пусть длина некоторого отрезка равна а, и большая его часть – х. Тогда а-х – длина меньшей части. Составим отношение, согласно определению вышеназванной пропорции: а:х=х:(а-х). Отсюда х2+ах-а2=0. Так как х>0, то , где носит название коэффициента золотого сечения ([[Greekj]] = 0,618033989… или приближенно, с точностью до тысячных, [[Greekj]]~0,618). Буква, обозначающая коэффициент, взята в честь греческого скульптора Фидия, который широко использовал эту пропорцию в создании гармоничных скульптур человека.

Заметим, что

Таким образом,

Рассмотрим теперь один из способов деления отрезка в “золотом сечении”. Пусть дан прямоугольный треугольник АСВ с катетами а=1 и в=2 (рис.1). Из точки В проведем окружность радиуса R=а=1, которая пересечет гипотенузу треугольника в точке Д, а ее продолжение – в точке М. Затем из точки А как из центра построим окружность радиуса АС=2. Эта окружность пересекает гипотенузу АВ в точке К. Точка К делит отрезок АМ в отношении Ф. Действительно, АМ=+1, АК=2, тогда АМ:АК=(+1)/2=Ф. КМ=-1, поэтому АК:КМ=2:(-1)=(+1)/2=Ф. Таким образом, получили “золотую пропорцию”.

Решив несложную геометрическую задачу на построение, мы и не подозревали, что она многократно решалась греческим скульптором Поликлетом. Наглядным примером воплощения “математических принципов красоты” является знаменитая скульптура греческого мастера “Канон”. В ней он попытался воплотить идеальные, по его мнению, пропорции человеческого тела (рис. 2).

“Канон” Поликлета был каноном органических форм. Он наглядно выражал эстетические принципы красоты классического греческого искусства. Многие его произведения были созданы в убеждении, что существуют обьективная красота и совершенные пропорции. Эти пропорции, как видим, понимались математически. Древние скульпторы считали, что красота заключена в числе и мере. Но, несмотря на обьективность и математичность, эстетика греков оставляла достаточно свободы для творческого вдохновения художника. Эстетика классического искусства была реалистичной. Она убеждала в том, что мастер черпает красоту из природного источника.

Наблюдая красоту и гармонию природы, мы чувствуем ее законченность и целесообразность. В колоссальном разнообразии форм живой природы обнаруживаем четкие ритмы и аритмию, симметрию и асимметрию, непрерывность и дискретность, статику и динамику.

Восхищаясь простотой и совершенством творений окружающего мира, попробуем и мы увидеть их скрытые закономерности, например, кленового листа.

Предварительно покажем, что существуют и другие гармоничные соотношения, которые являются “производными” золотого сечения. Вот как получается соотношение, выраженное числом 1,12. Если взять разность а-в длин двух частей отрезков, входящих в золотую пропорцию, разделить ее также в золотой пропорции и каждую долю добавить к меньшей величине исходного золотого сечения, то получится соотношение 1,12 (рис. 3). Выразим его через Ф. а+в=1; а=; в=1-; а-в=-1;

(в+х)/(в+у)=(3-Ф)/(2Ф-2)~1,12

А теперь попытаемся открыть маленькую природную тайну, скрытую во внутренней схеме кленового листа. Для этого призовем на помощь математику.

Построим равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС. АД – высота треугольника, проведенная к основанию, и АД=Ф*ВС (рис. 4). От основания высоты – точки Д отложим отрезок ДQ=ВС, а через точку Q проведем прямую ЕF, перпендикулярную прямой АД. FЕ=АД. Далее отложим отрезок QМ=АQ, построим прямую КМ, перпендикулярную АД, КL=1,12АД*NР=АО, SР=[[Greekj]]NР, и ТU=[[Greekj]]RS. Найдем теперь золотые отношения на кленовом листе. Нарисуем его, закончив построение геометрической схемы. Получается целая цепочка золотых пропорций:

;

Вот так, выполняя геометрические построения, мы открываем неуловимую тайну природной гармонии.

Еще один природный секрет, связанный с золотой пропорцией, открыл в 1850 г. немецкий ученый А.Цейзинг. Наблюдая расположение листьев на ветке растения, он заметил, что угловые расхождения ветвей соответствуют делению человеческого тела через точку пупа по принципу Ф. Это значит, что средняя величина углового отклонения a=137030’28”, из чего следует, что Если принять g=3600=a+b, то это равносильно или . Угол a дополняет b до 3600 и делит угол 3600 в отношении золотого сечения (рис. 5).

Чем можно обьяснить именно такое математически мудрое решение природы? Если вычислить, какой постоянный угол должны образовывать листья или ветви растения (расположенные вдоль стебля или ствола восходящими спиралями), чтобы получить наибольшее количество вертикально падающего света так, чтобы горизонтальная проекция никогда не покрывалась целиком, то математическим решением этой задачи является угол, равный

.

Как тут не вспомнить слова Леонардо да Винчи о том, что вся природа пронизана математическими законами, и поэтому “…никакое человеческое исследование не может претендовать на то, чтобы быть истинной наукой, если оно не использует математических доказательств и нет никакой уверенности там, где нельзя применить одну из математических наук”.

И еще один пример природного явления, в котором используется золотое сечение. Это так называемый филлотаксис (закономерности листорасположения). Чешуйки сосновой шишки располагаются одна около другой так, что они образуют две системы спиральных рядов. В одной системе ряды чешуек направлены по часовой стрелке, в другой – против нее. Всего в шишке 8 длинных и 13 коротких рядов. В верхушках очень многих побегов можно различить такие же системы спиральных рядов, состоящих из зачатков листьев и цветков. Числа рядов, ориентированных противоположно, отличаются у разных растений, но могут принимать, как правило, одно из следующих значений (в знаменателе записано число коротких, а в числителе – число длинных рядов): 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/24… Удивительно, что пределом этого ряда является число [[Greekj]].

Обьясняя расположение листьев на ветке растения или веток на стволе, мы упомянули о спирали. Это логарифмическая “золотая” спираль. Покажем, как ее можно получить геометрически.

Возьмем прямоугольник АВСД с отношением сторон, равным золотому сечению (рис. 6). Далее построим квадрат АДЕF и из точки F поведем дугу АЕ окружности радиуса FВ. Отношения сторон оставшегося прямоугольника ЕСВF также равно золотому сечению. Далее рисуем квадрат ЕСКL и таким же образом проводим дугу окружности. Продолжая проводить соответствующие дуги, мы и построим “золотую” спираль.

Логарифмическую спираль можно построить и по-другому. Начнем с построения треугольника, стороны которого равны Ф, Ф+1, Ф+1. Используя этот треугольник, можно построить логарифмическую спираль. Проведем биссектрису АМ угла САВ треугольника (рис. 7). Точка М пересечения биссектрисы со стороной ВС делит эту сторону в отношении золотого сечения, при этом треугольник АВС будет разбит на треугольники АМС и АМВ. Последний треугольник подобен данному. Треугольник АВС разобьем на два треугольника АВN и ВСN, проведя биссектрису угла АВС. Продолжим этот процесс неограниченно. Затем из точки N проведем окружность радиусом NС, из точки F – окружность радиусом FВ, из точки Е – окружность радиусом ЕN и т.д. Полученные дуги образуют логарифмическую спираль.

Разные спирали, встречающиеся в природе, чаще всего бывают логарифмическими. Это уже названные спирали чешуек на сосновой шишке, спираль раковины моллюска Наутилуса, соцветия многих растений, например маргаритки или подсолнуха. Один из наиболее распространенных пауков, Эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмическим спиралям.

Логарифмическая спираль – единственный тип спирали, не меняющей своей формы при увеличении размеров. Это свойство и обьясняет, почему логарифмическая спираль так часто встречается в природе.

Проведенные в лаборатории архитектурной бионики исследования, а также работы многих современных ученых показали, что золотое сечение является механизмом гармонического роста и развития живых организмов. Оно обнаруживается на макро- и микроуровнях живой природы, в самых различных геометрических соотношениях: линейных, плоскостных, пространственных. Эта мысль прослеживается в последних исследованиях математиков, астрономов и физиков, которые нашли, что Вселенная, земной шар, организмы, растения, кристаллы – все подчинено математическим законам. И пропорции золотого сечения встречаются там порой в самых неожиданных природных обьектах.

Астроном К.П.Бутусов установил, что соотношение периодов обращения соседних планет Солнечной системы равно числу Ф и Ф2. “Частота обращений планет и разности частот обращений, – пишет он, – образуют спектр с интервалом, равным Ф, т.е. спектр, построенный на основе золотого сечения”. Иными словами, спектр гравитационных и акустических возмущений, создаваемых планетами, представляет собой консонансный аккорд, наиболее совершенный с эстетической точки зрения. Значит, и эта “эстетическая закономерность” имеет естественную материальную основу.

Золотое сечение приближает нас к пониманию природной гармонии и убеждает в том, что древние греки оправданно использовали математические законы, заложенные в природе, для создания произведений искусства. Гармонию космоса (космос – по-гречески “прекрасно устроенный”) они пытались воплотить в окружающей жизни. Может быть, еще и поэтому творения греческого искусства на протяжении многих веков были и остаются непревзойденными образцами единства вдохновения художника и математической мысли ученого.

А закон золотого деления, существующий в природе и некогда воплощенный в творениях искусства, продолжает волновать не только сердце, но и разум, давая математикам новую пищу для размышлений.

Алексей АЗЕВИЧ, учитель математики 931-й московской школы