Геометрическое отображение . Доказательство теоремы Ферма

В прошлом номере «Учительской газеты» мы рассказали о талантливом академике из Омска Александре ИЛЬИНЕ. Сегодня приводим ход доказательства знаменитой теоремы Ферма, предложенный Ильиным.

Примечание: математические символы в данном тексте в силу html-верстки могут отобразиться с некоторыми искажениями.

Еще в древней Греции было обращено внимание на возможность геометрического отображения алгебраических уравнений. Самым наглядным примером этого является теорема Пифагора. Она отображает связь сторон прямоугольного треугольника в форме алгебраического уравнения вида:

(1) z2 = x2 + y2,

где х, у – катеты прямоугольного треугольника, а z – гипотенуза.

Однако до настоящего времени не найдено алгебраического отображения не прямоугольного треугольника. Такое отображение существует, но не в форме алгебраического уравнения, а в форме трансцендентного уравнения, названного теоремой косинусов вида:

(2) z2 = x2 + y2 – 2 xy cosa,

где a угол треугольника, образованный сторонами х, у.

Простота и подкупающая наглядность уравнений (1) и (2), а также то, что уравнение (1) является частным случаем уравнений (2) (a = p/2), скорее всего и не давало поводов для поисков других форм для отображения связи сторон треугольника в форме уравнений. Только великий француз П. Ферма обратил внимание на существование такой связи, но в форме отрицания. Это свое предположение П. Ферма сформулировал в форме постулата, названного впоследствии ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМОЙ ФЕРМА, который до настоящего времени оставался недоказанным, а сам П. Ферма не оставил доказательства. Существуют доказательства теоремы для некоторых частных случаев. Суть теоремы, которую П. Ферма сформулировал без доказательства на полях монографии Диофанта «Арифметика», указав, что для приведения оригинального доказательства мало места, заключается в следующем.

Уравнение

(3) xn + yn = zn,

при n>2 не имеет целых положительных решений.

Но почему-то до настоящего времени никто не обратил внимание на почти очевидный факт, что не только теорема косинусов, выражаемая трансцендентным уравнением (2), является отображением связи сторон треугольника, в общем виде, но и алгебраическое уравнение (3) также является отображением связи сторон треугольника, в общем виде, когда z большая из сторон треугольника, а именно:

при n = 1 – треугольник вырождается в прямую линию (a = p);

при 1при n = 2 – прямоугольный треугольник (a = p/2);при n>2 – остроугольный треугольник (p/3

Для случая n>2, (p/32 не имеет целых положительных решений.

Для случая 0

Таким образом, рассмотрена разрешимость уравнения (3) при любых положительных n.

Используя приведенные выше результаты, можно сделать аналогичные обобщения относительно уравнения (3) и при отрицательных n.

Александр ИЛЬИН, доктор технических наук, Омск

Так как случаи n = 1 и n = 2 очевидны, то покажем, что случай n>2 соответствует остроугольному треугольнику, а случай 1Введем обозначения:(4) x2+y2=q2, x=q sin b, y=q cos b,так как х,у – положительные числа, достаточно рассмотреть изменение b в диапазоне [0, p/2].Тогда уравнение (3) запишется в виде:(5) zn = qn (sinn b + cosn b).Откуда имеем:(6) z2=q2(sinn b+cosn b)2/n= q2 fn (b),где(7) fn (b) = (sinn b + cosn b)2/n.Исследуем функцию fn (b) приn і 1 и изменении b от 0 до p/2.Нетрудно убедиться, что для функции fn (b) справедливо, приn і 1, 0условие:(8) 1/2 nЦ4 Ј fn (b) Ј 2.При 1b = p/2,a максимум, равный 2, приb = p/4.При n = 2, fn (b) є 1.При n>2 функция fn (b) имеет максимум, равный 1, при b = 0 иb = p/2,a минимум, равный 1/2nЦ4, приb = p/4.Нетрудно убедиться, что характер изменения отношения z2/q2, когда z2 определяется из уравнения (2), полностью совпадает с характером изменения функции (7), который полностью совпадает с характером изменения длин сторон в треугольнике, а именно, монотонное, непрерывное без точек разрыва и перегиба изменение n от 1 до Ґ в уравнении (3), соответствует такому же изменению угла a от p до p/3, когда тройке чисел х, у, z, связанных либо уравнением (2), либо уравнением (3), соответствует треугольник, стороны которого равны х, у, z.Таким образом, связь сторон треугольника имеет отображение, как в форме трансцендентного уравнения вида (2), так и алгебраического уравнения вида (3). Но, исходя из теоремы косинусов, стороны треугольника имеют рациональное решение лишь при значениях a равных 0, p/3, p/2, 2/3p, p. Это означает, что уравнение (3) может иметь рациональные решения лишь при n = 1, n = 2 и 1Действительно, при n = 1, имеем:(9) z = x + y,то есть для любых двух рациональных чисел x, y существует рациональное число z, равное их сумме.При n = 2 имеем:(10) z2 = x2 + y2,а в качестве решения может быть бесконечный набор чисел, например:(11) 3m, 4m, 5m, где m = 1, 2, 3, …Случай при 1(12) z2 = x2 + y2 + xy,а алгебраическое уравнение в виде:(13) xn + yn = zn.Особенность этого случая заключается в том, что в качестве решения уравнения (12) может быть бесконечный набор чисел, например:(14) 3m, 5m, 7m, где m = 1, 2, 3, …Но для этого набора чисел не существует рационального числа 1Для случая n>2, (p/32 не имеет целых положительных решений.Для случая 0Таким образом, рассмотрена разрешимость уравнения (3) при любых положительных n.Используя приведенные выше результаты, можно сделать аналогичные обобщения относительно уравнения (3) и при отрицательных n.Александр ИЛЬИН, доктор технических наук, Омск