Геометрическое харакири Занимательные задачи на разрезание

Задачи, в которых требуется прямолинейными разрезами разделить заданную фигуру на наименьшее возможное число частей, чтобы из них можно было сложить другую указанную плоскую фигуру, широко известны. Целый ряд занимательных геометрических задач основан на такого рода конструкциях.
Задачами превращения одной фигуры в другую путем переложения разрезанных частей занимались еще в древние времена. Возникли они из потребностей практиков-землемеров и строителей архитектурных сооружений древнего мира.
Решения многих простых задач на разрезание были найдены еще древними греками, но первый систематический трактат на эту тему принадлежит перу Абу-ль-Вефа, знаменитого персидского астронома Х века, жившего в Багдаде. Абу-ль-Вефа разрезал три одинаковых квадрата на девять частей, из которых затем сложил один большой квадрат. (Рис. 1)

На одном из собраний геометров Абу-ль-Вефа была предложена задача: составить из трех равных квадратов один квадрат. Он разрезал квадраты I и II по диагонали и каждую из половинок приложил к квадрату III, как показано на рисунке. Затем соединил отрезками прямых вершины ABCD. Квадрат ABCD оказался искомым.
Геометры всерьез занялись решением задач о разрезании фигур на наименьшее число частей (и последующем составлении из них той или иной новой фигуры).
Одним из основоположников этого увлекательного раздела геометрии был знаменитый английский составитель головоломок Генри Э. Дьюдени.
Генри Э.Дьюдени (1857-1930) – талантливый английский самоучка, стяжавший себе всемирную славу как один из непревзойденных авторов головоломок и наряду с Сэмом Лойдом по праву считающийся классиком “головоломного жанра”. Особенно он прославился разрезанием квадрата на 4 части, из которых можно составить правильный треугольник.
Дьюдени в этой задаче применил обратный метод: разрезал треугольник.
ГОЛОВОЛОМКА ГАЛАНТЕРЕЙЩИКА
Галантерейщик сказал компании, что покажет всем нечто, от чего “их мозги перекрутятся, как веревка от колокола”. Кстати, он сыграл с компанией шутку, ибо сам не знал ответа на головоломку, которую предложил. Достав кусок материи в форме правильного треугольника, он сказал:
– Покажите мне, каким образом этот кусок материи можно разрезать на 4 части так, чтобы потом из них удалось составить квадрат. (Рис. 2)

Разделим АВ и ВС пополам. На продолжении АЕ отложим EF=EB. Разделим AF пополам и опишем дугу AF с центром в точке Q. Продолжим сторону СВ до точки Н пересечения с дугой AF.
EH – является стороной искомого квадрата.

Из Е как из центра опишем дугу HJ и отложим отрезок JK=BE. Соединим А с Е. Из точек D и К опустим перпендикуляры на EJ. Так получились отрезки, вдоль которых следует провести разрезы.
Выступая в 1905 году с докладом о своей задаче перед Лондонским королевским обществом, Дьюдени демонстрировал решение на модели из красного дерева, части которой в трех точках были соединены бронзовыми шарнирами. Модель образует цепочку, которая при складывании по часовой стрелке даст треугольник, а против часовой стрелки – квадрат.
Задачу Абу-ль-Вефа Дьюдени решил, разрезав три квадрата лишь на 6 частей! Этот рекорд держится и поныне.
ЯПОНКИ И КОВЕР
Трем знатным японкам достался в наследство квадратный ковер, очень дорогой, но еще более ценный как семейная реликвия. Они решили его разрезать и сделать из него три квадратных коврика так, чтобы каждая могла унести равную долю в свой дом.
Дьюдени в этой задаче применил обратный метод – из трех одинаковых квадратов составил один. (Рис. 3)

Если из трех одинаковых квадратов сложить прямоугольник JDBA, то среднее пропорциональное двух сторон прямоугольника равно стороне равновеликого квадрата. Продолжим АВ до С, сделав BC=BD. Затем из точки Е (середина АС) опишем дугу АС. Продолжим BD до пересечения с дугой в точке F, и ВF окажется искомой стороной квадрата.
Далее отметим AQ=DH=BF и проведем разрез JQ, а также НК JD.
Шесть искомых частей пронумерованы так же, как и на квадрате.
Долгое время считали, что превратить правильный пятиугольник в квадрат можно, лишь разрезав его на семь частей. Дьюдени удалось это, разделив пятиугольник всего на шесть частей! (Pис. 4)

Проведем диагональ СЕ. На продолжении СЕ отложим EF=ED. Соединим F с А. Получилась трапеция ABCF, равносоставленная с данным пятиугольником. Через середину Q стороны AF проведем KL ВС. Получился параллелограмм LBCK, равносоставленный с трапецией ABCF.
Построим отрезок, равный стороне квадрата. Продолжим сторону АВ и на продолжении отложим отрезок ВТ, равный высоте параллелограмма. Построим полуокружность на LT как на диаметре и проведем BS LT до пересечения с полуокружностью. BS – сторона искомого квадрата.
Из точки К радиусом BS проведем дугу до пересечения с LB в точке N. Соединим ее с точкой К. На KN построим квадрат KNHM.
В треугольнике EDC найдем разрезы, соответствующие КQ и KR. Разрез KR перенесем в треугольник MNH.
Приведем в пример еще одну задачу с оригинальным решением Дьюдени.
Из пяти частей квадрата составить правильный шестиугольник. (Рис. 5)

Для решения такой задачи считать, что дан правильный шестиугольник и требуется преобразовать его в квадрат.
Разрежем шестиугольник по диагонали и сложим параллелограмм FECB.
Построим отрезок, равный стороне искомого квадрата. FP будет стороной квадрата. Из точки F радиусом FP сделаем засечку на стороне EC, в точке K. Соединим F с K. Из точки B опустим перпендикуляр BL на продолжение FK. Построим квадрат BLMN. Проведем NN FE. Равносоставленность квадрата и параллелограмма, а значит, и шестиугольника выполнена. Разрезы перенесем на шестигранник.

Из книги “Головоломки для детей и взрослых”.
Составитель И.Н.КИРИЧЕНКО