Генератор формул. Обучающий курс «Математическая логика»

«Элементы математической логики» – один из наиболее сложных разделов школьного курса «Основы информатики и ИВТ». Для его изучения выделяется мало времени и в выделенных уроках не рассматривается вся совокупность основных задач, активно используемых при программировании. Поэтому нами был разработан обучающий курс, предназначенный для нескольких категорий пользователей – школьников, изучающих курс теории множеств, общей математической логики, а также студентов, изучающих такие разделы дискретной математики, как «Функции алгебры логики», «Синтез схем из функциональных и логических элементов», «Представление булевых функций в виде формул» и некоторые основные замкнутые классы.

Полностью публикация приведена в формате PDF:Скачать/Просмотреть(Для просмотра необходима программа Adobe Reader или ее произвольный аналог).

Программа состоит из нескольких разделов, освещающих одну из тем курса математической логики. По семантическим составляющим обучающий курс можно разбить на следующую структуру:

демонстрационную часть, где визуализируются различные схемы, понятия теории;

тренажерную часть, где пользователь изучает объекты в движении. Здесь визуализируются различные формы объектов, представления понятий теории, сравниваются модели представлений. Объекты функционируют, программа подсказывает обучаемому правильные ответы;

контролирующую часть, где предлагается самостоятельно решить серию задач и оценить конечный результат.

Курс «Математическая логика» содержит следующие элементы, свойственные электронному учебнику – иллюстративный материал и гиперссылки по элементам электронного учебника.

В нем заложена следующая информационная структура электронного учебника:

1. Основные понятия:

историческая справка по математической логике;

определение основных логических операций;

представление логических операций через схемы из функциональных элементов (СФЭ);

представление логических операций через теоретико-множественные операции.

2. Представление понятий:

представление логических формул через таблицы истинности:

– построение таблицы истинности,

– построение совершенной конъюнктивной нормальной формы (СКНФ),

– построение совершенной дизъюнктивной нормальной формы (СДНФ),

– проверка монотонности функции,

– определение двойственности и эквивалентности для нескольких функций;

представление нескольких СФЭ;

совместимость различных моделей:

– рассмотрение минимального покрытия с помощью подкубов для задачи минимизации,

– построение по заданной логической функции схемы из функциональных элементов.

3. Упражнения:

закрепление знаний с помощью теоретико-множественных представлений;

использование таблиц истинности и понятий СКНФ, СДНФ, двойственности, эквивалентности, монотонности.

С точки зрения обучения рассматривались темы, где требуется приобретение некоторых навыков алгоритмического характера и где именно компьютер может осуществить безошибочную проверку, демонстрацию, генерирование большого числа примеров. Для решения данной задачи был создан генератор формул, в котором есть настройка по числу переменных, поскольку процесс генерации большого числа примеров как для преподавателя, так и для обучаемого весьма трудоемок.

В разделе курса, посвященном совместимости моделей через схемы из функциональных элементов и покрытий подкубами, реализована визуализация и графическое представление данных математических моделей (рис. 1).

В разделе, посвященном проблемам минимизации булевых функций, по случайно сгенерированной формуле строится минимальная дизъюнктивная нормальная форма функции, а также приводится ее геометрическая интерпретация, что весьма важно в рамках процесса обучения. Геометрическая интерпретация показывает, как строится минимальная дизъюнктивная нормальная форма функции с помощью покрытий куба (гранями, ребрами, точками). Примеры рассмотрены с тремя переменными.

Заключительным разделом программы служит компьютерное тестирование по представленному курсу. Тестирование может быть как проверочным, так и контрольным.

Режим проверочного тестирования предназначен для самостоятельной тренировки, а также проверки уровня своих знаний по курсу. Пользователь получает задание, на которое он не обязан давать ответ, при этом ему предлагается вариант просмотра правильного ответа по специальной кнопке. При ответе пользователя на вопрос программа выдает положительный или отрицательный статус полученного ответа.

Режим контрольного тестирования предназначен исключительно для проверки уровня полученных знаний и умений. В данном режиме обучаемому выставляется отметка по пятибалльной шкале, результат которой преподаватель может использовать для вынесения своей оценки обучаемого.

Каждый из видов тестирования можно пройти по любой теме из пройденного курса.

Наиболее эффективно использование данной программы для обучения темам, где преподавателю затруднительно объяснять материал, рисуя только мелом на доске. Для этой цели был создан функционал, содержащий графические визуализации различных задач, например, геометрическая интерпретация задачи минимизации с помощью покрытий куба, а также построение геометрической области по логическому выражению.

При выборе очередного вопроса обучаемому предлагается булева формула. На экране при этом изображен рисунок с незакрашенными множествами. Задание состоит в том, чтобы правильно закрасить область рисунка, соответствующую предлагаемой формуле. Если области занумеровать по принципу всевозможных пересечений множеств, то при клике мышкой на области рисунка закрашивается самая минимальная область, в которой происходит данное пересечение. Повторный клик мыши снимает окраску выбранной области (рис. 2).

Курс по математической логике позволяет изучить одно из базовых понятий математической логики – формы представления булевых функций. Также в нем представлен один из наиболее эффективных методов обучения основам теоретико-множественных операций – динамическая работа с множествами в интерактивном режиме. Закрашивание выбранных областей с помощью простого клика мыши, эффективное построение наиболее трудно реализуемых задач на практике (например, построение минимальной дизъюнктивной нормальной формы с помощью полного перебора) является безусловным достоинством компьютерных технологий перед традиционными методами обучения этим дисциплинам.

Равиль ХАДИЕВ

Алина МУХАМЕТШИНА

преподаватели Казанского государственного университета