Долой калькулятор! Техника счета на уроках математики

Много ли ученики считают устно на уроках? «Немало»,- ответят учителя начальных классов. «Порядочно», – скажут математики средней школы. И нетрудно предположить, какой ответ будет у тех учителей, кто преподает в старшей школе…

На самом деле, считаем мы мало. Причин несколько: перегруженность программы, отсутствие системы приемов рациональных вычислений, недостаточность осознания конечных целей обучения математике. В наших учебниках много определений, правил, алгоритмов, которые надо понять, усвоить и научиться применять. Так много, что большинство учеников просто не в состоянии запомнить чересчур обширный материал. Обилие теоретических сведений, немалое количество тупиковых тем, в которых рассматриваются бесконечно оторванные от реальной жизни примеры, – еще одна причина трудностей восприятия учебного предмета. Между тем очень часто можно наблюдать знакомую картину – ученики старших классов не могут быстро и точно выполнить простейшие вычисления в уме. На это приходится тратить драгоценное время, вместо того чтобы заняться решением более трудных задач.

В средних классах мы недостаточно внимания уделяем педагогическому проектированию – видению содержания будущего материала с точки зрения материала текущего. Это приводит к тому, что в средней школе бывают упущены те узловые моменты учебного содержания, которые в дальнейшем дают возможность более эффективно формировать практические навыки школьников.

Несколько примеров. Начало 10-го класса. Изучение тригонометрии. Простейшие вычисления с углами. Ученики не могут найти значения выражений типа p + n/4; 2n – n/6.

Эти проблемы возникают у них при упрощении выражений, вычислении значений тригонометрических функций, решении уравнений, построении графиков. Навыки, не сформированные в свое время, на каждом шагу дают о себе знать. И тогда на уроках приходится возвращаться к счету, начиная решение задач с простейших устных вычислений.

Еще один пример. Решение разных уравнений, изучаемых в старших классах, так или иначе сводится к решению квадратных уравнений. А много ли учеников применяют теорему Виета, знают формулу корней квадратного уравнения со вторым четным коэффициентом, помнят о разложении квадратного трехчлена на множители? Подобных «мелочей» наберется немало. Они, как тяжелые гири, висят на ногах у старшеклассников, мешая им твердыми и размеренными шагами двигаться вперед по пути изучения серьезных разделов предмета. Все это происходит оттого, что в свое время этим вопросам не уделили достаточно внимания, не отработали практические навыки на простом и стандартном материале. А потом то, что упустили, вновь дает о себе знать.

Формирование прочных вычислительных навыков – то, что мы часто забываем, увлекаясь текущими делами. Владение системой вычислительных приемов – основа для восприятия и понимания материала каждого урока. С учеником просто общаться и легко обучать, если он хорошо считает, помнит простейшие вычислительные правила. Правда, приемов рациональных вычислений в учебниках очень мало. Их недостаток заставляет учителей задумываться о формировании системы рациональных вычислений, полезных правил, которые облегчают вычисления и которые в конечном итоге помогают формировать вычислительную культуру учеников.

И как свидетельство этому – письмо в «УГ» учителя математики И.С.Плужникова из села Дунайка Белгородской области. Иван Степанович постоянно пополняет свою методическую копилку, собирая остроумные приемы, которые значительно упрощают вычислительную работу. Некоторые из них учителя начальных классов используют на уроках. Так, например, при умножении числа 11 на двузначное число, они пользуются следующим алгоритмом. 37 х 11 = 37 х 10 + 37 х1 = 370 + 37 = 407. Однако автор письма приводит и более простой способ умножения в подобных случаях. Чтобы умножить двузначное число на 11, надо в произведении по краям числа записать цифры десятков и единиц соответственно, а в середине – сумму цифр данного числа. Например: 27 х 11 = 297. Как видим, в результате по краям стоят цифры 2 и 7, а «в середине» – сумма 2+7=9. Возьмем еще один пример, в котором двузначные числа больше предыдущих: 95 х 11 = 1045. Видно, что здесь этот прием не проходит, поэтому учитель предлагает другое правило. В тех случаях, когда сумма цифр двузначного числа больше 9, в середине пишут только цифру единиц, а к цифре десятков числа прибавляют единицу и записывают полученные число впереди произведения. В нашем последнем примере, 4 – в середине, а перед ней – 10

( 9+1).

Возможно, что с первого раза у учеников не получится быстро, с ходу выполнять эти или другие подсчеты. Пусть сначала не получится использовать прием, показанный учителем. Не беда. Нужна постоянная вычислительная тренировка. Из урока в урок, из года в год. Она поможет приобрести полезные навыки устного счета. Тренировочные минутки-считалки, сопроводительные пояснения в подходящих «числовых ситуациях», вычислительные мини-бои – далеко не полный перечень учебных форм, которые полезно включать в учебный процесс.

Вычислительную культуру помогают формировать и другие приемы. Учителям известно, что, складывая довольно простые числа, дети часто испытывают трудности. Они не могут сложить, например, устно 253 и 198. Но если объяснить, что при сложении таких чисел можно использовать прикидку, то дело будет обстоять лучше. Ученик без труда это поймет и в дальнейшем будет пользоваться прикидкой (или упрощением). В данном примере для того, чтобы сложить, например, 253 и 198, надо сначала сложить 253 и 200 (мы как бы округляем второе слагаемое до 200), а потом из полученной суммы 453 вычесть два.

Подобная прикидка используется и при умножении чисел, близких к 100. Предположим, надо умножить 94 на 98. Найдем те слагаемые, которые дополняют каждое число до сотни. Это 6 и 2 соответственно. Далее из любого множителя вычтем дополнение второго множителя до сотни, т.е., например, 98-6=92. Потом найдем произведение дополнений и к разности множителя и дополнения припишем слева произведение дополнений. В результате получим 9212. Просто? Конечно. Возьмите на вооружение этот прием. А если с первого раза покажется трудно, повторите несколько раз. Еще один похожий пример: найти произведение 99 х 95. Вот последовательность мыслительных действий. Цепочка рассуждений состоит из нескольких простых примеров.

1) 99 – 5=95 -1=94; 2)5 х 1= 5 ; 3)99 х 95=9405. Все это легко находится в уме. Операции проходят значительно быстрее, чем письменное умножение столбиком.

Привычка выполнять подобные примеры устно формирует устойчивый навык, который не раз сыграет добрую службу при изучении более сложного материала.

Очень часто на уроках математики требуется быстро найти квадрат целого числа. Надо приучать учеников и эти действия выполнять в уме. Вот лишь некоторые из приемов, которые можно использовать при возведении двузначного числа в квадрат.

Для того, чтобы найти квадрат числа n, если известен или легко вычисляется квадрат числа (n+2), необходимо из числа (n+2)2 вычесть сумму чисел n+(n+2), умноженную на 2.

Покажем это правило на примере: 382 = 402 – (38+40)х2 = 1600-156=1444.

А для того, чтобы найти квадрат числа n, если известен или легко вычисляется квадрат числа n-2, необходимо к числу (n-2)2, прибавить удвоенную сумму чисел n и n-2.

Например, 422 = 402+(40+42)х2 = 1600 + 164 = 1764. И еще несколько примеров, иллюстрирующие последние два правила.

522 = 2500 + (50+52) х 2 = 2704,

482 = 2500 – (48+50) х 2 = 2304,

572 = 3025 + (55+57) х 2 = 3249,

532 = 3025 – (53+55) х 2 = 2809.

Вот так, систематически и ненавязчиво, красиво и последовательно надо показывать ученикам практическую значимость математики. Это воспринимается ими так же естественно и понятно, как свежий воздух или восход солнца. Уроки математики должны учить считать, должны тренировать мышление, разум и волю. Не только в начальной школе, но в средней и старшей. И тогда наши дети чаще будут выглядеть перед нами способными, уверенными и культурными. Ведь своя голова, согласитесь, все-таки надежней, чем самые современные калькуляторы.