На чтение: ≈ 12 мин.Хорошее математическое образование и развитие математических способностей потребуется не только тому, кто впоследствии займется научными исследованиями в области математики, физики, станет инженером. Математический стиль мышления, умение логично рассуждать необходимо будущим юристам, врачам, биологам, лингвистам, историкам. И потому важно заинтересовать математикой и тех, кто к ней довольно равнодушен. Статьи Евгения Белякова этому способствуют. Их можно использовать не только в школах с углубленным изучением этого предмета, на факультативах, но и в самых обычных классах.
Жил в Древней Греции мудрец по имени Зенон. С его именем связывают знаменитую «апорию» (парадокс). Ахилл, знаменитый герой «Илиады», по утверждению Зенона, никогда не сможет обогнать черепаху. Предположим, герой находится в точке А, а черепаха в точке Б. Гонка начинается. Через некоторое время Ахилл достигает точки Б, но черепаха за это время переползла в точку В. Гонка продолжается. Ахилл достигает точки В, а черепаха преспокойно переползает в точку Г… Сколько может продолжаться такое безобразие? А бесконечно, поэтому Ахилл черепаху не догонит НИКОГДА, или произойдет невозможное: бесконечность закончится.
Эту милую шутку (степень ее легкости можно и переоценить, как мы дальше увидим) знает, наверно, каждый школьник. Говорят, что у нее было и продолжение…
Отчаявшись догнать черепаху, герой вытащил лук, намереваясь поразить ее стрелой. О ужас: стрела не могла лететь! Действительно, продолжает Зенон, чтобы пролететь расстояние от Ахилла (точка А) до черепахи (точка Б), стрела должна сначала пролететь половину этого расстояния. А до этого – половину половины… И так далее до бесконечности. А значит, она не сможет даже начать двигаться, не то что преодолеть все расстояние от А до Б!
Посмеялись? Кончили смеяться. Один из древнегреческих философов тоже сначала смеялся, а потом покончил с собой, так как понял, что не в силах разгадать этот парадокс. Так что не все так смешно, как может показаться сначала. Другой сказал: «Все течет, все изменяется» (его имя Гераклит). И добавил: «И нельзя дважды войти в одну и ту же реку». «Нет, – сказал второй, – и единожды нельзя! Потому что пока будешь входить, уже река станет другой». А третий подвел итог: «Значит и слово, пока вылетает из уст, меняет смысл». Тут дискуссия естественным образом прекратилась, потому что о чем говорить, если и слов нет? Говорят, этот философ всю оставшуюся жизнь молчал или мычал…
Уже Аристотель понимал корень проблемы: актуальная бесконечность. Иными словами: можем ли мы представить существующую реально, то есть «законченную» бесконечность? Если нет, то как понять движение – ведь движущийся объект проходит за конечное время бесконечное число точек? Да, отвечали мыслители и математики Нового времени: Ньютон, Лейбниц и другие создатели интеграла и дифференциала, да – это возможно. Более того: мышление о таких закончившихся бесконечностях теоретически непротиворечиво.
Стоп. «Бесконечностях»? Разве бесконечность не одна и та же, где бы и какова бы она ни была? И, если так, не надо ли было употребить единственное число?
Этим вопросом задался великий математик Георг Кантор (1845-1918). Кантор родился в России, и быть бы ему великим русским математиком, если бы родители (вот незадача!) не увезли его, еще ребенка, в Германию.
Впервые именно Кантор стал исследовать бесконечности, точнее – бесконечные множества. Рассмотрим натуральный ряд чисел 1,2,3,4,… и ряд четных чисел 2,4,6,… Спрашивается: в каком из них «больше» чисел, больше элементов множества? Для того чтобы ответить, нужно определить понятие «больше» для бесконечностей, или уж хотя бы понятие «равно». Кантор отвечает на этот вопрос с помощью фундаментального понятия «взаимно-однозначное соответствие» или «биекция». Если дети вошли в класс, сели на стулья, причем на каждом стуле сидит один ребенок, и нет «свободных» лишних ни стульев, ни детей, то между множеством стульев и детей установлена биекция. Это понятие легко применять к бесконечностям. И если для конечных множеств стульев и детей при этом говорят о равном количестве, то бесконечные множества тогда называются равномощными. Все натуральные числа и четные числа равномощны, так как существует биекция 1«2, 2«4, 3«6,…, n«2n. То есть если в качестве стула мы берем натуральное число, то на этот стул садится удвоенное число. При этом нет ни лишних стульев, ни детей без стула…
Хотя, казалось бы, четных чисел «меньше», так как это подмножество всех чисел вообще.
Тут уж, конечно, начинаются неочевидные и парадоксальные вещи, но вроде бы все объясняется тем предположением, что бесконечность универсальна и единственна. Тут мы вступаем в таинственную надзвездную сферу, где издавна главенствовала философия. Бесконечность должна быть единственной – ибо един вечный и величавый Абсолют. И ведь только так вроде бы можно объяснить непонятное: как бесконечная часть множества оказалась равномощной («равной») ему самому.
Какое же человеческое мужество потребовалось этому человеку, который так спокойно и внимательно смотрит на нас со старого фотоснимка! Какое же величие духа, чтобы понять и не просто понять, но и математически доказать: существуют разные, то есть НЕРАВНОМОЩНЫЕ бесконечности. И сейчас мы приведем это доказательство.
Предположим, нам дано конечное множество {1,2}. Перечислим его подмножества: {} – то есть «пустое» подмножество, {1}, {2}, {1;2}. Элементов два: 1 и 2, подмножеств четыре. Подмножеств оказалось БОЛЬШЕ, чем элементов множества. И это закон, причем и для бесконечных множеств. Рассмотрим теперь бесконечный ряд натуральных чисел 1,2,3,4,5,… Любое подмножество можно задать, каким-то образом выделив числа из этого ряда. Например, так: я задаю ряд из нулей и единиц и записываю в две строчки:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…
0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, … (дальше одни нули).
Если под числом стоит 0, оно не входит в подмножество, если единица, то входит. Например, выше задано подмножество {2;3}, так как под этими числами стоят единицы. Итак, любое подмножество натуральных чисел задано бесконечным рядом нулей и единиц. Я утверждаю, что все такие ряды (то есть множество всех таких рядов) невозможно перенумеровать. То есть невозможно «посадить каждую такую последовательность на стул-число», иными словами, не существует биекции, сопоставляющей натуральный ряд и множество его подмножеств.
Доказательство ведем от противного. Предположим, перенумеровать можно. Тогда запишем это в виде бесконечной таблицы:
№1 0111100000001010…
№2 0101010101000001….
№3 0101011001101010….
№4 0000000000011010….
№5 0101011010111111….
………………………………
Так как-то выглядела бы такая таблица, если бы она существовала; только последовательности были бы, наверно, другие. Кантор утверждает следующее: найдется такая последовательность из нулей и единиц, которая в данную таблицу не включена. И этот элемент, эту последовательность нулей и единиц можно построить.
1. Выделяем все числа (единицы или нули), стоящие «по диагонали» таблицы:
2. Составляем из чисел на диагонали новую последовательность: 01000…
3. Заменяем нули на единицы и единицы на нули: 10111…
Полученная последовательность «пропущена» в нашем списке! Действительно, пусть она есть в списке, и пусть ее номер, скажем, 4. Тогда на четвертом месте в ней стоял бы 0, а стоит 1 (согласно нашему построению)! И так для любого номера: наша последовательность не может иметь номера, следовательно, ее просто нет в списке. Правильный список невозможен. Бесконечность натуральных чисел «меньше» бесконечности подмножеств натуральных чисел! Так Георг Кантор доказал существование разных бесконечностей. Первую бесконечность, бесконечность натуральных чисел, Кантор обозначил А0, вторую – множество его подмножеств – А1. Дальше появился целый ряд бесконечностей: А0,А1,А2,А3 …, названный им трансфинитным рядом.
«Это болезнь», – отреагировал великий Пуанкаре. Болезнь, «от которой математика должна когда-нибудь исцелиться». А Леопольд Кронекер – учитель Кантора и один из самых авторитетных математиков Германии – даже напал на Кантора лично, называя его «шарлатаном», «ренегатом» и «растлителем молодежи»! А ведь это была великая «диагональ Кантора»: идея, которая в первой половине XX века стала основой выдающихся результатов Геделя и Тарского, составивших фундамент современного научного мировоззрения (см. в энциклопедии «Теорема Геделя»).
Казалось бы – абстрактные истины, но одни кончают самоубийством, другие теряют речь, третьи (как Георг Кантор) сходят с ума. И только после этого математические истины становятся привычными и общепризнанными, входят в ваши учебники. «Привычка свыше нам дана…»
Москва
Выбор читателей
Комментарии