Динамика чисел. Прикладная наука на рубеже XXI века

​Тем, кому предстоит развивать и применять математику в начавшемся веке, очень важно заглянуть в будущее и верно выбрать направление приложения своих усилий. Математики часто считают свою науку вечной, следующей своей внутренней логике. Они с гордостью вспоминают о трех классических задачах античности (удвоение куба, трисекция угла и квадратура круга), которые были решены почти через двадцать веков после их постановки, или о проблемах Гильберта, ставших для многих исследователей ориентиром в XX веке.

Однако реальность меняется, а вместе с ней меняется математика. Научное творчество – диалог с коллегами, в том числе работающими в других областях, предшественниками и последователями. Поэтому много важного и интересного будет рождаться и происходить на границе и во взаимодействии с другими быстро развивающимися дисциплинами, с техникой.Это подтверждают математические итоги XX века, подведенные выдающимся ученым академиком Владимиром Игоревичем Арнольдом: «Вся математика делится на три части: криптография, гидродинамика (поддерживаемая производителями атомных подводных лодок) и небесная механика (финансируемая военными и другими организациями типа НАСА, имеющими отношение к ракетам).Криптография привела к созданию теории чисел, алгебраической геометрии над конечными полями, алгебры (создатель современной алгебры Виет был криптографом короля Генриха IV во Франции), комбинаторики и компьютеров.Гидродинамика породила комплексный анализ, уравнения в частных производных, теорию групп и алгебр Ли, теорию когомологий и методы вычислений.Небесная механика дала начало теории динамических систем, линейной алгебре, топологии, вариационному исчислению, симплектической геометрии.Существование таинственных связей между всеми этими различными областями – самая поразительная и прекрасная сторона математики (не имеющая никакого разумного объяснения).Опыт прошедших столетий показывает, что развитие математики было обусловлено не столько техническим прогрессом (больше всего поглощавшим усилия математиков во все времена), сколько неожиданными открытиями взаимосвязей между ее различными областями (которые сделались возможны благодаря этим усилиям)…Сильвестр (1876) называл удивительным интеллектуальным феноменом тот факт, что общие утверждения проще, чем их частные случаи. Согласно Сильвестру математическая идея не должна застывать в аксиоматической форме, а должна течь подобно реке. Надо всегда быть готовым изменить аксиомы, сохраняя идею».Каковы же те области, которые будут активно развиваться в XXI веке и порождать новые математические задачи?Со школьных времен у большинства сохранилось субъективное ощущение, что математика – большая серьезная наука. Физика и химия и по объему, и по сложности примерно вдвое меньше. Биология тоже примерно вдвое меньше, чем физика и химия.Однако чтобы судить о настоящей, «взрослой» науке, нужно опираться на объективные данные. Например, на индекс цитируемости различных научных дисциплин. Эта величина показывает, насколько велико и активно научное сообщество, развивающее данную область исследований. Если взять вместе молекулярную биологию, иммунологию, генетику – «потомков» школьной биологии, то характерный показатель цитируемости – 50, для химии – около 10, для физики – 8, для математики и информатики примерно по 1,5. Картина совсем другая. Из нее следует, что XXI век будет веком биологии и наук о человеке.Если в XIX и XX веках основными «заказчиками и поставщиками» математических проблем были физика, механика и криптография, то в XXI веке лидерами, которые будут ставить задачи, станут биология, экономика, социология, психология, история, география, робототехника, наука о материалах, нейронаука.Науке XXI века предстоит научиться заглядывать в будущее, оценивать и предупреждать различные риски, на новом уровне понять сущность, возможности и ограничения людей и коллективов.Жизнеобеспечивающие технологии, которые мы имеем сегодня (производство энергии, продовольствия, переработка (рециклинг) отходов, здравоохранение, управление и ряд других), позволяют поддерживать нынешний уровень потребления в течение нескольких ближайших десятилетий. Нам предстоит найти технологии, которые дадут возможность успешно развиваться человечеству хотя бы в течение нескольких веков. Очень большую роль предстоит сыграть в этом математике и междисциплинарным подходам (которые позволяют переходить от отдельных задач, решаемых различными научными дисциплинами, к большим, сложным, комплексным проблемам, требующим совместных усилий, а с другой стороны, опираясь на сходство или аналогию математических моделей, помогают увидеть общность различных явлений и процессов).В то же время имеет место и другая тенденция. То, что считалось передним краем науки и было результатом творчества выдающихся исследователей, становится со временем общим достоянием, затем используется в инженерной практике и попадает в институтские учебники.Это можно проследить по работам Института прикладной математики имени Келдыша РАН (ИПМ), созданного в 1953 году для решения стратегических задач, требующих компьютерного моделирования и использования методов прикладной математики.Первыми задачами института были следующие:- проблемы совершенствования ядерного оружия и создания водородной бомбы. В советском ядерном проекте участвовало более 800 тысяч человек, среди которых более 8000 исследователей. Реализация этого проекта потребовала создания атомной отрасли промышленности, которой руководило Министерство среднего машиностроения;- создание космических аппаратов и ракетной техники, баллистическое обеспечение запусков стратегических ракет, искусственных спутников, межпланетных полетов. Прорыв в космос потребовал усилий более 1,5 миллиона человек, более 1200 предприятий и создания Министерства общего машиностроения;- разработка и внедрение компьютерных систем управления сложными объектами и системами.Первым директором нашего института был выдающийся математик, механик, организатор науки, «главный теоретик космонавтики», академик Мстислав Всеволодович Келдыш. Известна его дискуссия с выдающимся физиком академиком Арцимовичем. В историю вошла шутка последнего о том, что «наука – способ удовлетворения личного любопытства за государственный счет». Он считал, что не так важно, какими проблемами заниматься, важно это делать на высоком уровне (науковеды сейчас называют это ценностной ориентацией). Келдыш полагал, что у науки должно быть несколько (приоритетов не бывает много) крупных, важных для общества задач, решение которых в конечном счете определит и направление теоретических поисков (целевая ориентация). История подтвердила правоту Келдыша.Без преувеличения можно сказать, что в 1940-1950-х годах будущее мира решалось в лабораториях ученых. И на этом историческом рубеже отечественные исследователи успешно справились со стоящими перед ними задачами, причем в удивительно короткие по нынешним меркам сроки.На этом пути была создана большая часть современной вычислительной математики, многие разделы дискретной математики, системное программирование, основы вычислительной геометрии (на которых строится вся компьютерная графика), теория конечных автоматов, алгоритмы распознавания образов и новые разделы теории управления, аэродинамики и небесной механики (связанные с роботами, проектированием и обеспечением авиационных и космических комплексов) и многое другое.Реализация больших научно-технических проектов требовала математического моделирования (во многих случаях двигаться методом проб и ошибок слишком дорого или невозможно) и совместной работы математиков с ведущими специалистами, работающими в разных областях, усилий многих талантливых людей. И поэтому институт оказывался в центре важнейших проектов, становился своеобразным системным интегратором.По-видимому, время больших проектов, обеспечивающих взлет нашего отечества и математики, не только в прошлом, но и в будущем.Уроки XX века«С омерзением и ужасом я отворачиваюсь от этой зловредной язвы – непрерывных функций, нигде не имеющих производных», – писал Эрмит в письме к Стилтьесу.Академик Яков Борисович Зельдович – выдающийся физик, один из создателей ядерного оружия, специалист по космологии, химической кинетике, квантовой механике, предложивший свое видение высшей математики, прикладной математики и математической физики, будучи сотрудником ИПМ, заложил основы космомикрофизики. Более 40 лет назад он показал, что эпохе гигантских ускорителей сравнительно скоро придет конец и что свойства нашей вселенной и ее развитие в первые мгновения после Большого взрыва определяются тонкими свойствами элементарных частиц – мельчайших кирпичиков материи. И напротив, свойства элементарных частиц придется очень скоро изучать, только решая обратные задачи. Эти свойства надо будет восстанавливать на основе наблюдаемого состояния космоса. В роли гигантского ускорителя, намного превосходящего все, что может быть создано людьми, выступит сама вселенная. И действительно, и астрофизика, и физика элементарных частиц пошли во многом именно по этому пути, намеченному Зельдовичем.Однако в этой дерзкой идее есть и прямая аналогия и с рождением больших проектов, и с развитием математики. Очень часто все начинается с небольшой конкретной, иногда кажущейся странной задачи.Вспомним математическую революцию конца XIX века, заставившую всерьез отнестись к доказательствам существования и единственности исследуемых объектов и установившую намного более высокие, чем раньше, стандарты строгости рассуждений.Великий Эйлер сделал удивительно много в математике и механике от доказательства, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке, до основополагающих уравнений гидродинамики, от основ теории функций комплексного переменного до замечательных результатов математического анализа и теории чисел. Привычные нам обозначения sin, cos, e, p в мире часто называют петербургскими символами, так как он ввел их, работая в Санкт-Петербурге в Академии наук одновременно с Михаилом Васильевичем Ломоносовым. Во многом судьба Ломоносова, вклад которого в науку и культуру России трудно переоценить, сложилась благодаря активной поддержке Леонарда Эйлера.Этот выдающийся математик полагал, что надо делать выкладки и получать результаты, оставив их обоснование, говоря современным языком, на долю не слишком способных аспирантов. В течение многих лет Лагранжа и многих других выдающихся математиков волновала «небольшая задача» – доказательство того, что, говоря современным языком, непрерывная функция, заданная на отрезке, является дифференцируемой почти всюду. Многолетние неудачи заставляли думать, что с этой задачей не все так просто.И наконец Карл Вейерштрасс (1815-1897) построил контрпример. Поскольку его ряд мажорируется геометрической прогрессией со знаменателем меньше единицы, то из классических теорем математического анализа следует, что функция непрерывна на отрезке. Однако Вейерштрассу удалось доказать, что при некоторых значениях параметров и производная функции не существует ни в одной точке отрезка.Этот и несколько других контрпримеров вызвали шок и переоценку ценностей – мало найти формальное решение или выписать его в виде ряда, надо доказать, что оно существует, единственно и лежит в том пространстве, в котором мы его ищем.Математики утешали себя тем, что придуманные ими «монстры» не встречаются в природе. Но к реальности оказался гораздо ближе взгляд Альберта Эйнштейна, считавшего, что природа представляет собой реализацию простейших математических конструкций (какими бы экзотическими они ни казались вначале, можем мы добавить сегодня).В самом деле, вскоре после работ Карла Вейерштрасса Жаном Батистом Перреном было исследовано броуновское движение. При этом траектория частиц описывалась не дифференцируемой функцией, а извилистой ломаной, повторяющей себя на все меньших масштабах (или, говоря современным языком, обладающей масштабной инвариантностью). А после работ французского математика Бенуа Мандельброта стало ясно, что исследование Вейерштрасса положило начало изучению замечательных геометрических объектов – фракталов, что мир полон ими и надо разбираться в их свойствах, механизмах возникновения и способах использования. Сейчас эти объекты применяют в задачах диагностики, прогноза, в компьютерной графике, при решении проблем сжатия информации, в технологиях повышения нефтеотдачи пластов, в географии.Новое рождается на границе нашего незнания, представляясь странностью, частным случаем, математической экзотикой.В полной мере это относится и к задачам, которые не являются корректными. Под знаком их изучения и решения и прошла значительная часть всех исследований в прикладной математике XX века.Георгий МАЛИНЕЦКИЙ, доктор физико-математических наукПродолжение следует