Делать урок с кого. О мастер-классе Михаила Случа на конкурсе «Учитель года России-2010»

​Всегда интересно, как приходят победы на Всероссийском конкурсе, что такое говорит победитель, привлекая внимание жюри, потом отдающее ему первое место? Далеко не все могут посмотреть уроки лучших в реальном времени. Мы решили вспомнить, как на конкурсном мастер-классе заставлял работать учеников и зрителей учитель года-2010 Михаил Случ. Думаем, вам будет интересно. Особенно – молодым учителям математики, для которых лучшие педагоги Москвы в ноябре провели акцию, показав свои лучшие уроки и мастер-классы. Дано: физику и математику нужно вскипятить чайник на обычной газовой плите. Договорившись между собой, ученые принимают некое общее решение. Нужно налить воду в чайник, поставить чайник на плиту, включить газ и подождать, пока вода закипит. На следующий день они сталкиваются с несколько измененной задачей. Обнаружив, что вода в чайнике уже есть, физик действует как нормальный представитель своей науки – он ставит чайник на плиту, зажигает газ и ждет, пока она вскипит. «Как вы думаете: что сделает в этой ситуации математик?» – этим вопросом директор московской школы №1060, ныне известный как победитель Всероссийского конкурса «Учитель года России-2010», Михаил Случ, начал свой конкурсный мастер-класс в одном из магнитогорских дворцов культуры.

Математик, по мнению коллег, выступавших в роли учеников на мастер-классе, обязательно выльет воду и сведет задачу к предыдущей. Михаил Случ кивает и задает другой вопрос: «А кто из персонажей байки действует более эффективно?» Коллеги уверены, что физик. «Или математик? – уточняет Михаил Случ. – К этому вопросу вернемся. В ближайшие двадцать минут мы будем решать задачи, сравнивать пути решений, а среди решений – важный момент – мы будем искать наиболее эффективное. Двигаясь от простого к сложному, попробуем уточнить сами понятия простого и сложного».На экране возникают пятьдесят мужских портретов. Один из этих портретов принадлежит известному математику и академику Андрею Николаевичу Колмогорову, его и предстоит найти присутствующим коллегам-ученикам. Для наглядности фотография Колмогорова продублирована рядом с массивом. Участники практически сразу справляются с решением задачи.Получив ответ, Михаил Случ усложняет задачу, увеличив объем данных: теперь на экране вместо пятидесяти представлено около двухсот фотографий. «Как изменится время решения?» – интересуется математик. «В четыре раза увеличится», – отвечает кто-то из коллег.Михаил Случ еще раз меняет условия задачи: теперь нужно найти среди пятидесяти фотографий два одинаковых лица. Математик просит даже не только и не столько найти ответ, а, скорее, определить, сложнее это задание, чем предыдущее, или же проще. Участники делятся мнениями, их ответы разнятся: «Примерно одинаково», «Нет, сложнее». Михаил Случ не поясняет, какой из ответов правильный. «Для меня сейчас важно, что сами эти разговоры вокруг простого и сложного не такие простые, – поясняет математик. – Это тема моего мастер-класса «Введение в теорию сложности». Мы будем искать количественные характеристики того, что такое «просто» и что такое «сложно».По ходу мастер-класса участникам необходимо было найти путь решения каждой из разобранных задач – алгоритм, разобраться, из какого числа операций этот алгоритм состоит, сколько времени занимает конкретное решение и то, с чем связано время или, иначе, число операций – уровень сложности. «Нас будут интересовать не только количественные характеристики, но и некоторые функциональные моменты, – уточняет математик. – Например, каким образом растет сложность при росте объема данных».Михаил Случ предлагает вернуться к первой задаче. Достаточно быстро коллеги приходят к выводу, что самый простой способ решения – последовательное сравнение нужного портрета со снимками из представленного массива. «Сколько действий при этом необходимо совершить? – спрашивает Михаил Ильич. – При самых неудачных обстоятельствах – пятьдесят». Во второй задаче, по сути, аналогичной первой, но с большим объемом данных, действий соответственно тоже на порядок больше – до двухсот. «Число действий пропорционально числу фотографий», – подводит итог математик.Следующая задача, оказавшаяся для участников мастер-класса сложнее, – поиск совпадающих лиц. Как и в предыдущем случае, коллеги предлагают, двигаясь по цепочке, сравнивать первый снимок со всеми остальными. В случае если совпадение не будет найдено, необходимо перейти к следующему снимку и проделать аналогичные действия сравнения. «Все ли снимки придется сравнивать?» – интересуется Михаил Ильич. – «Нет. Если мы сравнили первую фотографию с десятой, то десятую с первой сравнивать уже не придется». Количество клеток в квадрате составляет N в квадрате. При наличии пятидесяти снимков количество клеток составляет две тысячи пятьсот, из которых, поясняет Случ, максимум необходимых для решения сравнений – тысяча двести пятьдесят. «Чуть меньше на самом деле, потому что диагональ придется из нашего рассмотрения исключить», – добавляет он.Вместе с коллегами математик не просто обнаружил, что эта задача сложнее, чем задача поиска портрета, но и доказал, что она сложнее ровно в шесть раз. «Но и это еще не все. Если объем данных растет, то каким образом растет число операций?» – спрашивает Михаил Случ. Выдвинув несколько неверных предположений, коллеги находят ответ и на этот вопрос: число операций равно количеству данных в квадрате.Математик предлагает перейти к более привычной задаче, с которой школьники сталкиваются уже во втором классе – умножение многозначных чисел. Он вызывает к доске одну из «учеников». Пока участница умножает 98 на 67, Михаил Случ просит проделать то же самое и остальных коллег, после чего обращается к залу, но уже с другим вопросом. Зрителям не нужно повторять навыки умножения. Им следует попытаться оценить: сколько шагов требуется для того, чтобы выполнить всем известный алгоритм умножения в столбик? Сколько элементарных действий находится внутри него и какие именно это действия? Ответ следует немедленно: умножение однозначных чисел и сложение. Михаил Ильич добавляет: «В каких-то тяжелых случаях еще происходит перенос в следующий разряд».В это время «ученица» уже закончила умножение и приготовила ответ. Математик благодарит ее и проверяет результат. «Ответ сошелся! – восклицает Случ. – Это шесть тысяч пятьсот шестьдесят шесть».«Сколько элементарных умножений придется проделать? – поворачивается к залу Михаил Ильич. – Четыре, еще сколько-то маленьких операций сложения, маленьких переносов, но умножение самое важное».Затем Случ кардинально усложняет задачу. На этот раз нужно умножить два n-значных числа. На экране возникает алгоритм решения:9 _ 9 9*9 _ 9 9______________8 9 _ 9 1+8 9 _ 9 1+- – – – -+8 9 _ 9 1_____________9 9 _ _ _ _ 8 1В этом случае для решения задачи потребуется порядка трех n в квадрате операций, а число элементарных действий – умножение каждого числа на каждое – составит N в квадрате. Здесь математик решает провести параллель между данной задачей и задачей по поиску пары портретов. «Какая из этих задач сложнее, на ваш взгляд, а какая проще?» – спрашивает Случ.Как выясняется, примерно одинаковые. В задаче с фотографиями сложность растет пропорционально квадрату числа фотографий, пропорционально числу пар. Во втором случае пропорционально квадрату разрядов. «Мы научились сравнивать непохожие задачи, – резюмирует Михаил Ильич. – Попробуем на этом не останавливаться».Математик интересуется, знакомы ли участники с каким-либо более эффективным, нежели умножение в столбик, алгоритмом. Коллеги, улыбаясь, отвечают: да, можно воспользоваться калькулятором или компьютером.Компьютер быстрее справится с решением задачи, чем человек с умножением в столбик. Но компьютер сделан и «научен» человеком. Тогда возникает другой вопрос: компьютер умножает быстрее человека лишь потому, что он быстрее выполняет требуемые операции, или потому, что внутри программы зашит какой-то более эффективный алгоритм? Вопрос о новом алгоритме умножения был весьма актуален на заре возникновения электронной вычислительной техники. Умножать в столбик умели еще четыре тысячи лет назад древние шумеры, сейчас человек часто пользуется тем же способом, разве что имеет дело с большими числами. «Умножение присутствует как составная часть в бесчисленном множестве алгоритмов, никак с умножением вообще не связанных. Поэтому для математиков было очень существенно понять: существуют ли более эффективные способы умножения?» – поясняет Михаил Ильич.Например, в 1956 году Андрей Николаевич Колмогоров сформулировал «n-квадрат-гипотезу», суть которой состоит в том, что невозможно умножать быстрее, чем в столбик. Ровно через четыре года, в 1960-м, его гипотеза была опровергнута не каким-то маститым ученым, а молодым человеком, выпускником механико-математического факультета МГУ Анатолием Карацубой. Метод, предложенный Карацубой, понятен обычному семикласснику, нужно было свести умножение к некоему частному случаю и представить, что если умножение свести к возведению в квадрат, то получится более эффективный алгоритм. На интерактивной доске показана формула:ab = ((a+b)2 – (a-b)2) / 4, где (a+b)2 – квадрат суммы, где (a-b)2 – квадрат разности.«Не правда ли, необычный ход? – заявляет Случ. – Математика – это искусство видеть возможности». Дело оставалось за малым. Нужно было изобрести действительно простой алгоритм возведения в квадрат, с чем Карацуба успешно справился. В компьютерных программах реализован именно его алгоритм.Пообещав в начале мастер-класса двигаться от простого к более сложному, Михаил Ильич сдержал свое обещание, что, как оказалось, вовсе не означало перехода к каким-то невероятным с математической точки зрения задачам. «Следующая задача пришла прямо из детского сада», – объявил Михаил Ильич.Математик ставит на стол три стержня с табличками-номерами, на одном из стержней – пирамидка из трех разноцветных колец разного диаметра. Игра известна под названием «Ханойская башня». Придумал ее французский математик Эдуард Люка в далеком 1883 году. Задача – перенести все кольца пирамиды на соседний пустующий стержень, соблюдая при этом два правила: переносить по одному кольцу и не устанавливать кольцо большего диаметра на меньшее. Коллеги математика получили несколько наборов «Ханойской башни» и по просьбе Михаила Случа разбились на группы. Михаил Ильич предложил им начать игру, а сам вновь обратился к залу. Под активные комментарии из зала математик переставляет кольца, пока наконец в соответствии с условиями игры вся пирамидка не переходит с одного стержня на другой. Михаил Ильич предлагает разобрать решение задачи. «Нужно вспомнить самое начало моего мастер-класса, – говорит Случ. – О чайнике. Нужно свести задачу к предыдущей. Сколько нужно действий, чтобы переместить пирамиду высотой в два кольца? Три действия. Нижний диск – еще одно действие. И потом пирамиду из трех колец – семь действий. Вы видите, как растет сложность задачи? Кто может прогнозировать следующий результат?» Оказалось, пятнадцать действий. Михаил Случ просит дать ответ присутствующих в зале: «Сколько действий потребуется для того, чтобы переставить пирамиду высотой в шестьдесят четыре кольца?» Получив ответ – два в степени шестьдесят четыре и минус один, – он добавляет: «Вы видите взрывной, экспонициальный рост сложности. Если бы мы эту задачу пытались решать руками, одну операцию за одну секунду, нам с вами потребовалось бы пятьсот восемьдесят миллиардов лет».Задачи, подобные приведенной, решаются не просто медленно – их решение требует почти бесконечного времени. Схожим образом устроены задачи, имеющие огромную практическую значимость. «Это задачи, которые реализуют так называемые переборные алгоритмы, – рассказывает Михаил Ильич. – Они присутствуют абсолютно во всех дисциплинах науки. Это задачи, связанные с управлением, многочисленные задачи, связанные с решением транспортных потоков, проектированием оптимальных сетей, биологические и химические задачи, связанные с синтезом новых соединений, наконец, задача расшифровки человеческого генома и защиты банковских транзакций».Все эти задачи таковы, что для них не придумано на сегодняшний момент быстрых алгоритмов. Михаил Случ вновь касается вопроса: существуют ли эффективные алгоритмы для решения этих задач? Можно ли придумать какие-то способы, чтобы огромный перебор «два в степени» экспонициальной сложности превратить в так называемый полиномиальный перебор: n в квадрате, n в кубе и так далее? «На первый взгляд это детская проблема, – сообщает Михаил Ильич. – На самом деле в настоящий момент эта проблема формулируется как одна из важнейших. Может быть, даже с правом «задача номер один в математике». Речь идет о проблеме сокращения перебора – проблеме нахождения «быстрого» алгоритма для сложных задач P=NP».Поясняя сложность, Михаил Ильич сравнивает P=NP-проблему с задачей из списка института Клее, которую не так давно решил математик Григорий Перельман. «Данная задача [P=NP] пока не поддается такому решению, – сообщает Михаил Ильич. – Может быть, кто-то из учеников ее решит. Если удастся это сделать, будут решены многие проблемы. Среди них, например, такая колоссальная проблема, как задача составления школьного расписания».Мастер-класс подходит к завершению, Михаил Ильич спрашивает у участников о том, чем же они занимались. Звучат ответы: «Решали задачи и проблемы», «занимались простым и сложным», «сравнивали».«Скажите, пожалуйста, есть ли такие вещи, такие понятия, как простое и сложное, в ваших предметах? – спросил математик. – Можете ли вы продолжить начатый мной ряд? Простые дроби. Простые числа. Простые и сложные проценты. Простые и сложные упражнения». Участники отвечали: есть, так в истории обнаруживаются простые и сложные истины, а в географии – однонациональные и сложнонациональные страны.Поблагодарив коллег, Михаил Ильич задает еще один, последний, вопрос: «Нужно ли нам на своих предметах говорить о вопросах простоты и сложности с учениками?» На что коллеги единогласно ответили: да.