На чтение: ≈ 19 мин.Окружающий нас мир целостный, единый. Бесспорно, чтобы глубже познать, в том числе и себя, недостаточно применять только чувственные методы. Школьные учебные предметы в какой-то степени реализуют идею описания явлений и процессов в природе и в обществе методами науки. Но, к сожалению, ограничены целевой установкой самого процесса обучения в школе, когда каждая школьная дисциплина рассматривается как предмет изучения, а не как метод познания и у школьников формируются отдельно узкопредметные картины мира и знания о мире.
Неоспорим факт, что именно количественные, а не качественные модели того или иного предмета или действия являются наиболее описательными и адекватными. Специалисты все чаще используют количественное (математическое) моделирование не только процессов в технике и экономике, но и в гуманитарных дисциплинах.
Характерным общим понятием для всех моделей является понятие “величина”. С помощью конкретных величин (стоимость билета в городском транспорте, стоимость покупки в магазине и т.д.) мы оцениваем ситуацию, свои действия и поступки. Дети еще в дошкольные годы узнают о таких величинах, как количество игрушек, много-мало, число заученных стишков и т.п., а затем применяют эти величины для оценки себя и своих действий, для оценки других.
Затем в школе знание о величинах расширяется, причем в каждом предмете: в физике величины: скорость движения, сопротивление проводника и т.д.; в математике величины: длина, площадь, объем; в информатике: объем информации; в экономике: затраты, выручка, прибыль, себестоимость; в технике и транспорте: производительность, расход топлива и т.д.; в географии: объем осадков, атмосферное давление; в химии: молярная масса и молярный объем. На уроках психологии говорят о величине, о коэффициенте интеллекта (IQ). Оценивают общественных деятелей, применяя величину – рейтинг.
Понятие “величина” является основополагающим понятием не только отдельных наук, но и реальной повседневной жизни. Поэтому оно должно иметь единое содержание как в школьных учебниках, так и в реальной практике. Но в школьных учебниках не найдешь единого описания понятия “величина”. В Энциклопедических словарях юного химика и юного физика объяснения термина величина вообще нет.
В словаре С.И.Ожегова “Величина – то (предмет, явление и т.п.), что можно измерить, исчислить” (Ожегов С.И. Словарь русского языка М., Рус.яз., 1984, стр. 797).
В математической энциклопедии о величине говорится: “Величина – одно из основных математических понятий, смысл которого с развитием математики подвергался ряду обобщений”. В математической энциклопедии рассматриваются пять аспектов на понятие “величина”. К величинам относят векторы, тензоры и т.д. Величинами также называют действительные числа (Колмогоров А.Н. Математическая энциклопедия. Т.1. М.: “Советская энциклопедия”, 1977, стр. 651-652).
Академик Крылов А.Н. писал: “Надо помнить, что есть множество “величин” т.е. того, к чему приложены понятия “больше” и “меньше”, но величин точно не измеряемых, например: ум и глупость, красота и безобразие, храбрость и трусость, находчивость и тупость и т.д. Для измерения этих величин нет единиц, эти величины не могут быть числами”. Такой спектр разночтения. Вопрос “Что такое величина?” труден и для старшеклассников.
Проанализировав литературу о величинах, в том числе учебники и пособия для школьников, нами выделено, что, во-первых, величина позволяет перейти от качественного описательного к количественному изучению свойств объекта, т.е. математизировать знания об изучаемом объекте; во-вторых, количественное описание – величина представляется не только числом, но и единицей измерения.
Приведу пример из реальной жизни. Высказывание “Правительство добилось больших успехов в социальной сфере, повысило зарплату работникам образования”. Сразу же возникает вопрос: “На сколько повысило зарплату правительство?” Ответы могут быть разными: “на 10”, “на 1000”, “на 200”. Как видно, числа 10, 1000 и 200 также не дают внушительного описания повышения зарплаты. Но если к указанным числам добавить единицы измерения, получим иную информацию: 10 процентов, 1000 руб., 200 долларов. Величины задаются с помощью чисел и единиц измерения.
Количественные отношения изучаются и описываются математическими способами. Следовательно, понятие величины и способы построения систем величин должны стать предметом изучения математики, в том числе и школьной математики.
Традиционно математики считают, что их задача работать с числами. Заглянем в историю, вернемся на 50 лет назад. “Мы считаем и утверждаем, что вычисления результата арифметического действия над именованными числами (т.е. величинами. – С.Б.) в конечном счете надо производить над отвлеченными числами” (Принцев Н.А. О наименовании чисел при решении арифметических задач. Ж. “Математика в школе”, 1950 г. N 3). Барсуков А.Н., автор школьного учебника по алгебре для 6-8-х классов, который выдержал более пятнадцати изданий, пишет: “Математик имеет дело с числами, и результатом действия над ними является число. Поэтому говорить о “правильной” и “неправильной” постановке наименования с точки зрения математики просто нелепо”. (Там же).
Примерно такой же подход в прошлом был и у физиков: “Следует иметь в виду, что математическая формула выражает зависимость между численными значениями этих величин”. Физики дополнительно применяют теорию размерностей, т.е. представляют “зависимость” каждой единицы новой величины от единиц измерения трех основных величин: длины, массы и времени.
В тот период появился простой математический софизм: имеем, что 2 руб. = 200 коп. Применив математическое свойство, возводим обе части заданного равенства в квадрат. Получаем, что 4 руб. = 40000 коп. Абсурд. Учителя это объясняли примерно так: “В данном примере возведены во вторую степень наименованные числа (величины), а математические действия над наименованными числами не выполняются”.
Постепенно мнение физиков о математических зависимостях физических величин стало меняться: “Опыт доказал плодотворность общего правила, согласно которому все соотношения между величинами следует рассматривать как уравнения для этих величин. Это означает, что входящие в них значения величин следует брать в виде произведения числового значения на единицу измерения. Так, чтобы искомая величина получалась снова как числовое значение, умноженное на произведение единицы измерения (причем это последнее может быть представлено, как некоторая новая единица), прежде всего мы установим, что, как правило, построение новых величин осуществляется лишь путем умножения (деления) старых” (Камке Д., Камке К. Физические основы единиц измерения М., Мир. 1980, стр. 14-17). Если учесть, что величина есть произведение числа и единицы измерения, то легко объясняется указанный выше софизм 4 руб. = 40000 коп. Получается, что при возведении во вторую степень обеих частей равенства 2 руб. = 200 коп. необходимо возвести во вторую степень и числовые значения и единицы измерения. То есть получим следующее: (2 руб.)2= (200 коп.)2 в степени 2 = (200 коп.) в степени 2, далее 4 руб. в степени 2 = 40000 коп. в степени 2. Для реальной действительности при расчетах с использованием денег, естественно, величина 4 руб. в степени 2 вызывает недоумение. Но это точное математическое объяснение ошибки в указанном софизме. Непонимание также вызывает единица сек. в степени 2. Но в физике единица м/сек. в степени 2 – единица ускорения, с единицей сек. в степени 2 нормально воспринимается. Пользуясь указанным выше математическим способом построения величин легко устанавливается, что ускорение a(t) = V▓(t)=S▓▓(t) – ускорение есть вторая производная пути по времени, а третья производная пути по времени будет другой величиной с новой единицей измерения м/сек. в степени 3 – пока не имеющей научного и практического применения.
Стало традиционным построение новых величин умножением (делением) известных величин в физике и других прикладных науках.
Но как вводятся новые величины и их единицы измерения в школьной математике, причем в 11-м классе, когда учащиеся уже оперируют большим количеством физических и химических величин? Цитирую: “Понятие объема тела вводится по аналогии с понятием площади плоской фигуры. Из курса планиметрии известно, что каждый многоугольник имеет площадь, которая измеряется с помощью выбранной единицы измерения площадей. …Аналогично будем считать, что каждое из рассматриваемых нами тел имеет объем, который можно измерить с помощью выбранной единицы измерения объемов. За единицу измерения объемов примем куб, ребро которого равно единице измерения отрезков. Куб с ребром 1 см называют кубическим сантиметром и обозначают см3. Аналогично определяется кубический метр (м3) и т.д. Процедура измерения объемов аналогична процедуре измерения площадей. Ясно, что число, выражающее объем тела, зависит от выбора единицы измерения объемов, и поэтому единица измерения объемов указывается после этого числа. Например, если в качестве единицы измерения объемов взят см3 и при этом объем V некоторого тела оказался равным 2, то пишут V = 2 см3”. Так вводится величина объема в геометрии Атанасяна.
У Погорелова читаем: “Для простых тел объем – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами: 1) равные тела имеют равные объемы; 2) если тело разбито на части, являющиеся простыми телами, то объем этого тела равен сумме объемов его частей; 3) объем куба, ребро которого равно единице длины, равен единице.
Если куб, о котором идет речь в определении, имеет ребро 1 см, то объем будет в кубических сантиметрах, если ребро куба равно 1 м, то объем будет в кубических метрах, если ребро куба равно 1 км, то объем будет в кубических километрах и т.д.”
Авторы учебников по математике за единицу измерения величин длины, площади и объема принимают реальные объекты – отрезок, квадрат и куб, линейные размеры которых равны единице. Тем самым стирается связь между величинами объем, площадь и длина. Величины площадь и объем вводятся наглядно-аксиоматически, так же, как длина.
В учебниках физики величины вводятся с помощью определений: “Калория – это количество теплоты, которое необходимо для нагревания 1 г воды на 1 градус С”. Или: “Физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость, называется импульсом тела”.
Аналогично вводятся единицы измерения новых величин: “1 джоуль = 1 вольт * 1 ампер * 1 секунда или 1 Дж = 1В*А*с”. Физики умножают (делят) величины и их единицы измерения, получая при этом новые величины.
В физике условное обозначение физической величины включает две составные – числовое значение и единицу измерения, а в математике условное обозначение величины содержит всего лишь числовое значение. Пример, решение. Пусть меньший катет равен Х см. Тогда больший катет равен (Х+4) см. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, т.е. Х2 + (Х+4)2 = 202. Найдем, что х1 = -16, х2 = 12. По смыслу задачи значение х должно быть положительным числом. Этому условию удовлетворяет только второй корень, т.е. число 12. Ответ: 12 см, 16 см. Уравнение устанавливает математическую зависимость между числовыми значениями длин катетов и гипотенузы. Поэтому корнем решаемого уравнения являются: число -16 или 12.
В учебнике физики: “Решение: по закону сохранения энергии mv2/2+mgh = mvo2/2, v2/2+gh = vo2/2, 36/2+10h = 100/2. Ответ: 3,2 м”. Здесь имеем уравнение зависимости между величинами, и корнем уравнения является величина h = 3,2 м.
Физики выполняют математические действия не только с числовыми значениями величин, но и с единицам их измерения, например: “ax=(2м/с – 0,4м/с)/4с = 0,4(м/с)/с = 0,4м/с2”.
В практике встречаются величины-омонимы: производительность (тонна/час) и производительность (гектар/час), или расход топлива (кг/км * тонна) и расход топлива (литр/(км/ч). Единицы заданных величин подсказывают: “Какими уравнениями (формулами) определяются указанные величины, в том числе и величины омонимы?” Единица измерения величины чаще дает более точную информацию о величине, чем ее название. Например: “Тариф = 30 к/(кВт.ч)”.
Анализируя размерность величины тариф и структуру его единицы измерения, смело можно сделать вывод, что тариф – это стоимость одного киловатт-часа электрической энергии.
Некоторые изучаемые в физике процессы бывают настолько сложными, что построить какую-либо подходящую математическую модель для них не всегда удается. В таких случаях для выявления соотношений между переменными величинами иногда уместно применить анализ их единиц (размерностей). В основу анализа единиц (размерностей) положена теорема, согласно которой общую функциональную зависимость, связывающую между собой n переменных величин при m основных единицах измерения, можно представить в виде зависимости между n-m безразмерными комплексами этих величин. Этот математический метод особенно эффективен в сочетании с результатами экспериментов.
Из выше изложенного можно сделать вывод, что в школьные курсы математики и физики заложены разные подходы к изучению фундаментального понятия “величина”. Возможно, это является одной из причин того, что реальный мир школьниками будет по-прежнему восприниматься с позиции учителя математики, с позиции учителя физики и с позиции учителя биологии. Мы, учителя-предметники, по-прежнему единый реальный мир будем разрывать на свои узкопредметные картины.
Если школьная математика нужна лишь для изучения математики, то ее основным понятием останется число, если же школьную математику рассматривать как метод познания, то школьнику необходимо знать математическую теорию величин, предложенную нашим отечественным математиком А.Н.Колмогоровым.
Сергей БОГДАНОВ
Станица Владимирская,
Краснодарский край
Выбор читателей
Комментарии