Старая версия сайта
12+
Издаётся с 1924 года
В интернете с 1995 года
Топ 10

Урок алгебры и начал анализа в 10 классе на тему «Применение производной к исследованию функции». Конструирование нового способа действий в системе развивающего обучения

Дата: 07 апреля 2015, 13:25
Автор:

Обучающие цели: 1. Освоить теоретический материал, необходимый для решения задач, связанных с исследованием свойств функции: выявить необходимое условие существования экстремума функции в точке, изучить теоремы, выражающие зависимость характера монотонности функции от знака производной, получить формулировку достаточного условия существования экстремума в точке, составить алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы. 2. Дать представление о новом классе задач – исследовании свойств функции с помощью производной. 3. Рассмотреть задачи этого типа из материалов для подготовки к ЕГЭ.

Развивающие цели:

1.      Стимулировать активную мыслительную деятельность, способности к анализу и обобщению.

2.      Способствовать формированию грамотной математической речи, развитию теоретического мышления.

3.      Развивать навыки самоконтроля, само- и взаимооценки.

Воспитательные цели:

1.      Формировать культуру общения, умение слушать.

2.      Воспитывать работоспособность, учебную активность, дисциплину, уважение ко всем участникам учебного процесса, устойчивый интерес к предмету.

Оснащение урока: компьютер (Windows XP, Office 2007), интерактивная доска (проектор), раздаточные печатные материалы для учащихся (бланки с заданиями разминки, опорные конспекты основных теоретических сведений, распечатки с тематической подборкой заданий ЕГЭ), презентация к уроку.

Этапы урока

I. Организационный момент.

Организация учебного пространства в кабинете с противоположным размещением интерактивной и обычной досок.

Настрой на продуктивную работу.

II. Актуализация знаний.

Повторение понятий: монотонность функции, экстремумы, геометрический смысл производной,

Создание «ситуации успеха».

Формы работы: индивидуальная тестовая работа, взаимопроверка и взаимооценка результатов теста.

Разминка. Слайды 3 – 8.

Слайд 3.

1. Закончите формулировки утверждений:

а)  функцию у=f(х) называют возрастающей на множестве ХC D(f), если для любых двух точек х1 и х2 множества Х, таких, что х1<х2 ,………..

б) если в некоторой точке графика функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция ………………….

в) если к графику функции y=f(х) в точке с абсциссой х=a можно провести касательную, непараллельную оси  у, то  f ‘(х) выражает ………………………

Г)  если касательная к графику функции y=f(х)  в точке х =а образует с положительным направлением оси Х острый угол, то производная в этой точке……………………….

Слайд 4.

2. Выберите верное утверждение:

А) Точку х0 называют точкой максимума функции у=f(х), если для всех х≠х0 выполняется неравенство f(х)<f(х0).

Б) Точку х0 называют точкой максимума функции у=f(х), если для всех х≠х0 выполняется неравенство f(х)≤f(х0).

В) Точку х0 называют точкой максимума функции у=f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой, таких, что х≠х0 , выполняется неравенство f(х)<f(х0).

Слайд 5.

Определите знаки производной в точках, отмеченных на графике функции (Приложение 1).

Ответы к тестовым заданиям ученики вписывают в бланки (Приложение 1). По окончании – само- и взаимопроверка. Ответы к заданиям – в слайдах 6 – 8.

Слайд 6.

А) Функцию у=f(х) называют возрастающей на множестве ХC D(f), если для любых двух точек х1 и х2 множества Х, таких, что х1<х2 , выполняется неравенство  f(х1) <f(х2).

Б) Если в некоторой точке графика функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция  дифференцируема.

В) Если к графику функции y=f(х) в точке с абсциссой х=a можно провести касательную, непараллельную оси  у, то  f ‘(a) выражает угловой коэффициент касательной.

Г) Если касательная к графику функции y=f(х) в точке х =а образует с положительным направлением оси Х острый угол, то производная в этой точке  положительна.

Слайд 7.

Верное утверждение:

Слайд 8.

Ответы: производная равна нулю в точках В, D, Н; положительна в точках С, G; отрицательна в точках А, Е и не существует в точках F,K.

III. Постановка учебной задачи.

Создание ситуации «интеллектуального конфликта» – выход на задачу, способствующую выявлению дефицита способностей.

Фиксация данной задачи («разрыв») в виде вопроса, анализ проблемной ситуации.

Выход на проблему: в домашнем задании решение уравнения известными способами не удалось.

Применение производной для исследования функций.

Определенно, существует тесная связь между свойствами функции и ее производной. Но какая – предстоит найти. Итак…

IV. Решение поставленной задачи: конструирование нового способа действий.

Задание 1 (по графику на слайде 10):

Опишите характер монотонности функций  в окрестностях точек х = а и х = b.

Являются ли точки с абсциссами а и b экстремумами данных функций?

Как ведут себя касательные к графикам этих функций в указанных точках?

Найдите, если возможно, значения производных этих функций в данных точках.

Сделайте вывод о необходимом условии существования экстремума функции в точке.

Выводы, сделанные при выполнении этого задания, обобщаются следующей теоремой.

Слайд 11.Теорема.

Если функция у=f(х) имеет экстремум в точке х=х0 , то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Вводим новые термины (слайд 12):

Стационарная точка – внутренняя точка области определения функции, в которых производная равна нулю.

Критическая точка – внутренняя точка области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует.

Слайд 13.  Задание 2.

Найдите точки, в которых функция  у = х3  – 3х + 1  может иметь экстремумы.

Ученики решают задание в парах с опорой на теорему. Взаимопроверка проводится по образцу решения на этом же слайде:

Решение:

f ‘(x)=3×2  – 3.

f ‘(x)  существует при всех значениях аргумента.

f ‘(x)=0 при х=1  и х=-1. Эти точки могут быть точками экстремума.

Слайд 14.

Сравните данный чертеж с предыдущим и подумайте: является ли указанное условие достаточным для существования экстремума в данной точке?

(На чертеже выделены одна критическая и одна стационарная точки, не являющиеся точками экстремума!)

Учащиеся должны отметить, что в точке а производная равна нулю, а в точке b не существует. Тем не менее, в этих точках экстремумов нет.

Слайд 15.

Вывод: при переходе через точку экстремума характер монотонности функции меняется

Вопрос: как связаны монотонность функции и производная?

Слайд 16.

Рассмотрите рисунки и постарайтесь установить зависимость между знаком производной и характером монотонности функции на промежутке [a;b]. Сформулируйте выводы.

(На рисунках эскизы графиков монотонно возрастающей и монотонно убывающей функций, к каждому графику проведены касательные в нескольких точках.)

Слайд 17. Сравните свои выводы со следующим утверждением.

Теорема. Если функция y=f(x) непрерывна на промежутке Х и ее производная положительна (соответственно отрицательна) во внутренних точках этого промежутка, то функция y=f(x) возрастает (соответственно убывает) на Х.

На противоположной доске предлагается рассмотреть график возрастающей функции, имеющей т.н. точки перегиба – точки, в которых касательная параллельна оси Х.  Подходит ли такая формулировка к этой функции?

Слайд 18. Сравните  формулировки  теорем.

Теорема. Если функция y=f(x) непрерывна на промежутке Х и ее производная неотрицательна (соответственно неположительна) во внутренних точках этого промежутка и равна нулю лишь в конечном множестве точек, то функция y=f(x) возрастает (соответственно убывает) на Х.

Обобщаем информацию и делаем выводы (слайды 19 – 21).

Используя рисунок слайда 20, ответьте на вопрос: Чтобы точка х=х0 была точкой экстремума функции, достаточно, чтобы… (ваше мнение?).

Необходимо подвести учеников к осознанию необходимости выполнения следующих условий в точке: непрерывность, равенство производной нулю или ее отсутствие, смену знака производной при переходе через точку. Далее дается строгая формулировка (слайд 21).

Теорема (достаточные условия экстремума).

Пусть функция у=f(x) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку х = х0. Тогда:

а)  если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x<x0 выполняется неравенство  f ‘(x)x0  –  неравенство  f ‘(x)>0, то х=х0 – точка минимума функции у=f(x);

б)если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x0, а при x>x0  –  неравенство  f ‘(x)<0, то х=х0 – точка максимума функции у=f(x);

в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней слева и справа от точки х=х0 знаки производной одинаковы, то в точке х0  экстремума нет.

Продумайте формулировку «рабочего» правила!

V. Первичное закрепление.

Решение типовых заданий по материалам ЕГЭ прошлых лет.

Проговаривание способа решения.

Слайд 22 . Решите задачу.

На рисунке – эскиз графика функции у=f \'(х) (график производной функции у=f(х)).

Укажите:

Промежутки монотонности функции у=f(х).

Точки, в которых касательная к графику функции у=f(х) параллельна оси абсцисс.

Стационарные и критические точки.

Точки минимума и максимума.

Слайд 23.

Функция возрастает на промежутках [x0;x2] и [x2;x4].

Точки, в которых касательная к графику функции у=f(х) параллельна оси абсцисс: х0, х2, х4.

Стационарные точки: х0, х2, х4. Критическая  точка: х5.

Точка минимума – х0, максимума – х4.

В качестве заданий для первичного закрепления выбраны задачи из КИМов ЕГЭ, традиционно вызывающие сложности у выпускников – на исследование свойств функции по графику ее производной (учебно-тренировочные материалы ФИПИ).

При наличии времени – решение заданий по задачнику.

VI. Итог занятия.

Рефлексия деятельности на уроке (что нового узнали).

Самооценка учениками собственной деятельности.

На этом этапе обязательно вслух, с опорой на конспекты (Приложение 2), проговариваются полученные в ходе урока формулировки и утверждения, прогнозируются области применения новых знаний

VII. Задание на дом.

Теоретический материал: учебник «Алгебра и начала анализа. 10 класс. Профильный уровень». А.Г. Мордкович,  П.В. Семенов – §44 п. 1, 2.

Решение заданий из задачника: §44, № 44.6 (в, г), 44.8 (б), 44.10 (в), 44.35(а).

Творческое задание:  подготовить презентацию об использовании второй производной для анализа свойств функций.

Приложение 1.

Бланк ответов на задания разминки.

2. Выберите верное утверждение: _________

3. Определите знаки производной в отмеченных точках:

f \'(х)=0 в точках _____________

f \'(х)<0 в точках _____________

f \'(х)>0 в точках _____________

f \'(х) не существует в точках _____________

Приложение 2.

Элементы теории.

Теорема 1. Если функция у=f(х) имеет экстремум в точке х=х0 , то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Стационарные точки – точки, в которых производная функции равна нулю.

Критические точки – точки, в которых функция непрерывна, но производной не имеет.

Теорема 2. Если функция y=f(x) непрерывна на промежутке Х и ее производная положительна (соответственно отрицательна) во внутренних точках этого промежутка, то функция y=f(x) возрастает (соответственно убывает) на Х.

Теорема2 (расширение).Если функция y=f(x) непрерывна на промежутке Х и ее производная неотрицательна (соответственно неположительна) во внутренних точках этого промежутка и равна нулю лишь в конечном множестве точек, то функция y=f(x) возрастает (соответственно убывает) на Х.

Теорема 3 (достаточные условия экстремума).

а)  если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x<x0 выполняется неравенство   f ‘(x)x0  –  неравенство f ‘(x)>0, то х=х0 – точка минимума функции у=f(x);

б) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x0, а при x>x0  –  неравенство f ‘(x)<0, то х=х0 – точка максимума функции у=f(x);

Домашнее задание:

§44, п. 1,2

№ 44.6 (в,г), 44.8 (б), 44.10 (в), 44.35(а)

Ирина Рубцова, учитель математики лицея № 18 города Калининграда

В прикрепленном файле: презентация к уроку.


Читайте также
Комментарии


Выбор дня UG.RU
Профессионалам - профессиональную рассылку!

Подпишитесь, чтобы получать актуальные новости и специальные предложения от «Учительской газеты», не выходя из почтового ящика

Мы никому не передадим Вашу личную информацию
alt