Обучающие цели: 1. Освоить теоретический материал, необходимый для решения задач, связанных с исследованием свойств функции: выявить необходимое условие существования экстремума функции в точке, изучить теоремы, выражающие зависимость характера монотонности функции от знака производной, получить формулировку достаточного условия существования экстремума в точке, составить алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы. 2. Дать представление о новом классе задач – исследовании свойств функции с помощью производной. 3. Рассмотреть задачи этого типа из материалов для подготовки к ЕГЭ.
Развивающие цели:
1. Стимулировать активную мыслительную деятельность, способности к анализу и обобщению.
2. Способствовать формированию грамотной математической речи, развитию теоретического мышления.
3. Развивать навыки самоконтроля, само- и взаимооценки.
Воспитательные цели:
1. Формировать культуру общения, умение слушать.
2. Воспитывать работоспособность, учебную активность, дисциплину, уважение ко всем участникам учебного процесса, устойчивый интерес к предмету.
Оснащение урока: компьютер (Windows XP, Office 2007), интерактивная доска (проектор), раздаточные печатные материалы для учащихся (бланки с заданиями разминки, опорные конспекты основных теоретических сведений, распечатки с тематической подборкой заданий ЕГЭ), презентация к уроку.
Этапы урока
I. Организационный момент.
Организация учебного пространства в кабинете с противоположным размещением интерактивной и обычной досок.
Настрой на продуктивную работу.
II. Актуализация знаний.
Повторение понятий: монотонность функции, экстремумы, геометрический смысл производной,
Создание «ситуации успеха».
Формы работы: индивидуальная тестовая работа, взаимопроверка и взаимооценка результатов теста.
Разминка. Слайды 3 – 8.
Слайд 3.
1. Закончите формулировки утверждений:
а) функцию у=f(х) называют возрастающей на множестве ХC D(f), если для любых двух точек х1 и х2 множества Х, таких, что х1<х2 ,………..
б) если в некоторой точке графика функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция ………………….
в) если к графику функции y=f(х) в точке с абсциссой х=a можно провести касательную, непараллельную оси у, то f ‘(х) выражает ………………………
Г) если касательная к графику функции y=f(х) в точке х =а образует с положительным направлением оси Х острый угол, то производная в этой точке……………………….
Слайд 4.
2. Выберите верное утверждение:
А) Точку х0 называют точкой максимума функции у=f(х), если для всех х≠х0 выполняется неравенство f(х)<f(х0).
Б) Точку х0 называют точкой максимума функции у=f(х), если для всех х≠х0 выполняется неравенство f(х)≤f(х0).
В) Точку х0 называют точкой максимума функции у=f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой, таких, что х≠х0 , выполняется неравенство f(х)<f(х0).
Слайд 5.
Определите знаки производной в точках, отмеченных на графике функции (Приложение 1).
Ответы к тестовым заданиям ученики вписывают в бланки (Приложение 1). По окончании – само- и взаимопроверка. Ответы к заданиям – в слайдах 6 – 8.
Слайд 6.
А) Функцию у=f(х) называют возрастающей на множестве ХC D(f), если для любых двух точек х1 и х2 множества Х, таких, что х1<х2 , выполняется неравенство f(х1) <f(х2).
Б) Если в некоторой точке графика функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема.
В) Если к графику функции y=f(х) в точке с абсциссой х=a можно провести касательную, непараллельную оси у, то f ‘(a) выражает угловой коэффициент касательной.
Г) Если касательная к графику функции y=f(х) в точке х =а образует с положительным направлением оси Х острый угол, то производная в этой точке положительна.
Слайд 7.
Верное утверждение:
Слайд 8.
Ответы: производная равна нулю в точках В, D, Н; положительна в точках С, G; отрицательна в точках А, Е и не существует в точках F,K.
III. Постановка учебной задачи.
Создание ситуации «интеллектуального конфликта» – выход на задачу, способствующую выявлению дефицита способностей.
Фиксация данной задачи («разрыв») в виде вопроса, анализ проблемной ситуации.
Выход на проблему: в домашнем задании решение уравнения известными способами не удалось.
Применение производной для исследования функций.
Определенно, существует тесная связь между свойствами функции и ее производной. Но какая – предстоит найти. Итак…
IV. Решение поставленной задачи: конструирование нового способа действий.
Задание 1 (по графику на слайде 10):
Опишите характер монотонности функций в окрестностях точек х = а и х = b.
Являются ли точки с абсциссами а и b экстремумами данных функций?
Как ведут себя касательные к графикам этих функций в указанных точках?
Найдите, если возможно, значения производных этих функций в данных точках.
Сделайте вывод о необходимом условии существования экстремума функции в точке.
Выводы, сделанные при выполнении этого задания, обобщаются следующей теоремой.
Слайд 11.Теорема.
Если функция у=f(х) имеет экстремум в точке х=х0 , то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.
Вводим новые термины (слайд 12):
Стационарная точка – внутренняя точка области определения функции, в которых производная равна нулю.
Критическая точка – внутренняя точка области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует.
Слайд 13. Задание 2.
Найдите точки, в которых функция у = х3 – 3х + 1 может иметь экстремумы.
Ученики решают задание в парах с опорой на теорему. Взаимопроверка проводится по образцу решения на этом же слайде:
Решение:
f ‘(x)=3×2 – 3.
f ‘(x) существует при всех значениях аргумента.
f ‘(x)=0 при х=1 и х=-1. Эти точки могут быть точками экстремума.
Слайд 14.
Сравните данный чертеж с предыдущим и подумайте: является ли указанное условие достаточным для существования экстремума в данной точке?
(На чертеже выделены одна критическая и одна стационарная точки, не являющиеся точками экстремума!)
Учащиеся должны отметить, что в точке а производная равна нулю, а в точке b не существует. Тем не менее, в этих точках экстремумов нет.
Слайд 15.
Вывод: при переходе через точку экстремума характер монотонности функции меняется
Вопрос: как связаны монотонность функции и производная?
Слайд 16.
Рассмотрите рисунки и постарайтесь установить зависимость между знаком производной и характером монотонности функции на промежутке [a;b]. Сформулируйте выводы.
(На рисунках эскизы графиков монотонно возрастающей и монотонно убывающей функций, к каждому графику проведены касательные в нескольких точках.)
Слайд 17. Сравните свои выводы со следующим утверждением.
Теорема. Если функция y=f(x) непрерывна на промежутке Х и ее производная положительна (соответственно отрицательна) во внутренних точках этого промежутка, то функция y=f(x) возрастает (соответственно убывает) на Х.
На противоположной доске предлагается рассмотреть график возрастающей функции, имеющей т.н. точки перегиба – точки, в которых касательная параллельна оси Х. Подходит ли такая формулировка к этой функции?
Слайд 18. Сравните формулировки теорем.
Теорема. Если функция y=f(x) непрерывна на промежутке Х и ее производная неотрицательна (соответственно неположительна) во внутренних точках этого промежутка и равна нулю лишь в конечном множестве точек, то функция y=f(x) возрастает (соответственно убывает) на Х.
Обобщаем информацию и делаем выводы (слайды 19 – 21).
Используя рисунок слайда 20, ответьте на вопрос: Чтобы точка х=х0 была точкой экстремума функции, достаточно, чтобы… (ваше мнение?).
Необходимо подвести учеников к осознанию необходимости выполнения следующих условий в точке: непрерывность, равенство производной нулю или ее отсутствие, смену знака производной при переходе через точку. Далее дается строгая формулировка (слайд 21).
Теорема (достаточные условия экстремума).
Пусть функция у=f(x) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку х = х0. Тогда:
а) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x<x0 выполняется неравенство f ‘(x)x0 – неравенство f ‘(x)>0, то х=х0 – точка минимума функции у=f(x);
б)если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x0, а при x>x0 – неравенство f ‘(x)<0, то х=х0 – точка максимума функции у=f(x);
в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней слева и справа от точки х=х0 знаки производной одинаковы, то в точке х0 экстремума нет.
Продумайте формулировку «рабочего» правила!
V. Первичное закрепление.
Решение типовых заданий по материалам ЕГЭ прошлых лет.
Проговаривание способа решения.
Слайд 22 . Решите задачу.
На рисунке – эскиз графика функции у=f \'(х) (график производной функции у=f(х)).
Укажите:
Промежутки монотонности функции у=f(х).
Точки, в которых касательная к графику функции у=f(х) параллельна оси абсцисс.
Стационарные и критические точки.
Точки минимума и максимума.
Слайд 23.
Функция возрастает на промежутках [x0;x2] и [x2;x4].
Точки, в которых касательная к графику функции у=f(х) параллельна оси абсцисс: х0, х2, х4.
Стационарные точки: х0, х2, х4. Критическая точка: х5.
Точка минимума – х0, максимума – х4.
В качестве заданий для первичного закрепления выбраны задачи из КИМов ЕГЭ, традиционно вызывающие сложности у выпускников – на исследование свойств функции по графику ее производной (учебно-тренировочные материалы ФИПИ).
При наличии времени – решение заданий по задачнику.
VI. Итог занятия.
Рефлексия деятельности на уроке (что нового узнали).
Самооценка учениками собственной деятельности.
На этом этапе обязательно вслух, с опорой на конспекты (Приложение 2), проговариваются полученные в ходе урока формулировки и утверждения, прогнозируются области применения новых знаний
VII. Задание на дом.
Теоретический материал: учебник «Алгебра и начала анализа. 10 класс. Профильный уровень». А.Г. Мордкович, П.В. Семенов – §44 п. 1, 2.
Решение заданий из задачника: §44, № 44.6 (в, г), 44.8 (б), 44.10 (в), 44.35(а).
Творческое задание: подготовить презентацию об использовании второй производной для анализа свойств функций.
Приложение 1.
Бланк ответов на задания разминки.
2. Выберите верное утверждение: _________
3. Определите знаки производной в отмеченных точках:
f \'(х)=0 в точках _____________
f \'(х)<0 в точках _____________
f \'(х)>0 в точках _____________
f \'(х) не существует в точках _____________
Приложение 2.
Элементы теории.
Теорема 1. Если функция у=f(х) имеет экстремум в точке х=х0 , то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.
Стационарные точки – точки, в которых производная функции равна нулю.
Критические точки – точки, в которых функция непрерывна, но производной не имеет.
Теорема 2. Если функция y=f(x) непрерывна на промежутке Х и ее производная положительна (соответственно отрицательна) во внутренних точках этого промежутка, то функция y=f(x) возрастает (соответственно убывает) на Х.
Теорема2 (расширение).Если функция y=f(x) непрерывна на промежутке Х и ее производная неотрицательна (соответственно неположительна) во внутренних точках этого промежутка и равна нулю лишь в конечном множестве точек, то функция y=f(x) возрастает (соответственно убывает) на Х.
Теорема 3 (достаточные условия экстремума).
а) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x<x0 выполняется неравенство f ‘(x)x0 – неравенство f ‘(x)>0, то х=х0 – точка минимума функции у=f(x);
б) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x0, а при x>x0 – неравенство f ‘(x)<0, то х=х0 – точка максимума функции у=f(x);
Домашнее задание:
§44, п. 1,2
№ 44.6 (в,г), 44.8 (б), 44.10 (в), 44.35(а)
Ирина Рубцова, учитель математики лицея № 18 города Калининграда
В прикрепленном файле: презентация к уроку.
Комментарии