Наипростейшее доказательство теоремы Ферма.

Иногда на своих уроках учителя самых разных специальностей прибегают к такой уловке: специально вводят в материал, даваемый ученикам, ошибку (причем явную!), чтобы выяснить, кто из них понимает, что пишет, а кто просто бездумно «скатывает» с доски. Наверное, это может показаться не совсем педагогичным, однако… действует! И заставляет детей более критически относиться к полученному материалу. Главное – не переборщить…

В № 40 «УГ» от 30 сентября на полосе «Методической кухни» была опубликована статья Олега Сучкова-Русси «Все гениальное…», в которой он заявил о том, что сумел найти самое простое доказательство великой теоремы. Внимательные читатели (слава Богу, таковых оказалось немало) сразу заметили подвох – ведь автор доказал теорему не Ферма, а… Пифагора! На самом деле «ошибка» автора оказалась запланированной и была призвана подготовить аудиторию к настоящему доказательству заявленной теоремы. Тем более что Пифагор здесь более чем уместен.

Не секрет, что великая теорема давно доказана, а назначенная за это премия Вольфскеля выплачена. Однако, как известно, математическое обоснование этой теоремы, выполненное английским математиком Эндрю Уайлсом, содержит порядка десяти тысяч алгебраических выкладок на двухстах страницах.

Между тем, существует предельно простое доказательство теоремы Ферма! Я исходил из того, что согласно легенде сам Пьер де Ферма [1601 – 1665] упоминал о найденном им доказательстве как о простом и удивительном.

Итак, для начала представим числа xn в виде суммирования одного и того же числа 22 или соответственно произведения какого-то числа на число 22 (с остатком или без остатка). Например, 32 раскладывается как 22 + 22 + 1 = 2 . 22 + 1, а 42 уже соответственно как 22 + 22 + 22 + 22 = 4 . 22. В таком же виде представляют числа и при n > 2. Например, 33 = 27 = (27/22) . 22 = 6,75 . 22 = 6 . 22 + 0,75 . 22 = 6 . 22 + 3.

На основе этого и построена таблица, которая приводится ниже (значения чисел в ней являются простыми числовыми эквивалентами значений xn, показывающими, сколько раз нужно взять число 22 или соответственно число 4, чтобы без остатка или с остатком, который равен отдельно числу 1 или числу 3, получить искомое значение xn). По этой таблице нетрудно найти решения для уравнения вида x2 + y2 = z2 в целых числах. Так, например, видно, что 2 . 22 + 1 + 4 . 22 = 6 . 22 + 1, что эквивалентно решению 32 + 42 = 52. Таким же простым способом можно найти, что 62 + 82 = 102. Причем для удобства значения 22 в таблице отброшены, поэтому данные выше примеры решаются как просто 2 + 1 + 4 = 6 + 1 (32 + 42 = 52) или 9 + 16 = 25 (62 + 82 = 102).

Таблицу можно было бы продолжить и для значений x > 10 и n > 7. Однако этого не имеет смысла делать, так как и тех вычислений, которые представлены, уже достаточно. И даже с запасом.

Прежде всего необходимо обратить внимание на то, что для четных значений x при любой степени n эквивалентные значению xn числа не имеют остатка (не добавляется число 1 или 3), а при нечетных значениях x эквивалентные числа имеют остаток – добавляется 1 или 3. Также по этой таблице уже прекрасно видно, что для нечетных чисел x в степени нечетного числа n добавляется остаток – число 3, а для нечетных чисел x в степени четного числа n добавляется остаток – число 1. Причем для чисел x в степени нечетного числа n > 2 получают эквивалентные числа с чередованием: число без остатка, число с остатком 3, число без остатка, число с остатком 1, далее все повторяется. И только для чисел x в степени четного числа n > 2 идет попеременное чередование эквивалентных чисел без остатка и с остатком 1. То есть имеется определенный строгий порядок, который сохраняется и далее при x > 10 и n > 7.

По значениям эквивалентных чисел видно, что уравнение x2 + y2 = z2 имеет первое решение 32 + 42 = 52. Это означает, что площадь одного квадрата со стороной, равной по значению целому числу 5, делится ровно на две площади, которые могут быть представлены также в виде двух квадратов – одного со стороной, равной по значению целому числу 3, и другого со стороной, равной по значению целому числу 4. Далее следует следующая закономерность. При увеличении x, y, z в одинаковое число раз уравнение вида x2 + y2 = z2 имеет решения в целых числах. В самом деле, во сколько бы раз мы ни увеличивали значения 3, 4 и 5, площади квадратов так же пропорционально увеличиваются. А следовательно, далее так и идут решения в целых числах. Например, увеличивая числа 3, 4 и 5 в два, три, четыре и так далее раз, мы получаем 62 + 82 = 102, 92 + 122 = 152, 122 + 162 = 202, 152 + 202 = 252, 182 + 242 = 302, 212 + 282 = 352… 349142 + 465522 = 581902… и так далее. Причем других решений НЕТ. То есть в одном из множества возможных рядов решений, где z – y = y – x, не может быть таких решений, где x не кратно 3, y не кратно 4, а z не кратно 5 (ведь все начинается с 32 + 42 = 52…)!!! Следовательно, если в следующих столбцах таблицы мы не найдем ни одного решения в целых числах, подобного 32 + 42 = 52 (с разницей по x в единицу), то это будет означать только одно – решений НЕТ ВООБЩЕ, в том числе и при x > 10 и n > 7. Ведь если НЕТ первого решения с разницей по x, y и z в единицу (см. таблицу), значит, площади квадратов (значения эквивалентных чисел) увеличиваются так, что НЕ будет не только ряда решений, где z – y = y – x , но и всех других рядов решений, где z – y = y – x.

Легко видеть, что уравнение вида xn + yn = zn не имеет решения в целых числах, подобного 32 + 42 = 52 (с разницей по x, y, z в единицу). Так, например, при нечетных значениях n эквивалентные числа, одно из которых имеет остаток 1, а другое не имеет остатка, НЕ могут в сумме представлять собой число с остатком 3. А эквивалентные числа при n = 4 уже далеки по своим значениям друг от друга. Причем чем выше значение n, тем больше эквивалентные числа удаляются друг от друга. Абсолютно твердо на это указывает то, что при увеличении значения степени n > 2 площади квадратов, в виде которых можно графически представить любое число xn, увеличиваются неодинаково, и это четко видно по соответствующим кратным 22 эквивалентным числам, образованным от значений xn. Так, при увеличении n всего на единицу (с 2 до 3) эквивалентное число 4 соответствующее значению 42, увеличивается в 4 раза – до 16 (соответствует 43), а эквивалентное число 9, соответствующее значению 62, увеличивается до 54 (соответствует 63), то есть уже в 6 раз. Разумеется, что такой «разлет значений» начинается, как только n становится хоть немногим больше 2 (даже при n = 2,01 эквивалентное число 4 увеличивается в 1,014 раз, тогда как эквивалентное число 9 увеличивается уже в 1,018 раз!) Самое главное, если бы при n > 2 значения эквивалентных чисел, тождественных площадям квадратов, в виде которых представляют числа xn, увеличивались бы в одно и то же число раз, то уравнение xn + yn = zn имело бы решения в целых числах и при n > 2. Однако это НЕ ВЫПОЛНЯЕТСЯ.

Таким образом, из данного выше следует окончательный вывод, что уравнение xn + yn = zn при n > 2 ВООБЩЕ НЕ ИМЕЕТ РЕШЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ, ЧТО И ТРЕБОВАЛОСЬ ДОКАЗАТЬ!

P.S.

Очевидно, что именно о таком предельно простом доказательстве упоминал сам Пьер Ферма! Ведь к своей теореме он пришел через уравнение Пифагора, в котором фигурируют только квадраты чисел. То есть Ферма обратил внимание как раз на то, что при n = 2 имеются целые ряды решений при увеличении площадей квадратов в одинаковое число раз. И что это не выполняется при n > 2, если исходить из тех же значений x, y, z с разницей даже всего лишь в единицу и представлять числа xn, yn, zn в виде все так же площадей квадратов. Так, например, 45 = 1024, где 1024 – это площадь квадрата со стороной 32 (322 = 1024), а эквивалентное кратное 22 число 256 в таблице тождественно площади такого квадрата (256 . 22 = 1024).

Олег Сучков-Русси, изобретатель, Старый Оскол, Белгородская область