Ход урока

Учитель: Сегодняшний урок посвящен повторению и обобщению свойств площади.

Какие свойства площади вы уже знаете? Вспомните формулы для вычисления площадей треугольника, параллелограмма, трапеции…

 

Ученики отвечают на вопросы учителя.

 

Слайд 2.

 

Учитель: Вашему вниманию предлагается задача.

 

Разрешается передвигать любую вершину треугольника по прямой, параллельной противолежащей стороне. Можно ли в результате таких преобразований из равностороннего треугольника со стороной 1 получить прямоугольный треугольник с катетами, равными 1?

 

Проанализируйте, пожалуйста, условие задачи и предложите гипотезу: возможно ли получить заданный треугольник или нет?

 

Ученики анализируют условие, пытаются воспроизвести процесс преобразования треугольника (в тетради или, лучше, с помощью программных средств). Высказывают гипотезу.

 

Слайды 3, 4.

 

Учитель: Каков будет способ решения задачи, если ваш ответ «да»?

 

Ученики предполагают, что способ должен быть конструктивный, то есть пытаются преобразовать заданный треугольник так, чтобы получить прямоугольный треугольник. Пытаются привести последовательность необходимых действий. Сталкиваются с неудачей.

 

Учитель: Каков способ решения, если ваш ответ «нет»?

 

Ученики: Привести полное доказательство невозможности достижения результата.

 

Учитель: Давайте попробуем разобраться, а что вообще происходит при таком преобразовании треугольника, когда его вершина передвигается по прямой, параллельной противоположной стороне?

Ученики в группах анализируют процесс. Рассматривая несколько треугольников, полученных из данного с помощью указанного преобразования, определяют, что происходит с различными характеристиками треугольника: сторонами, углами, высотами, периметром, площадью. (Удобно для этого использовать различные математические программы, например, «Математический конструктор 1С»). Выясняют, что ни разу не изменилась площадь треугольника.

 

Учитель: Действительно, при указанном преобразовании площадь треугольника не изменяется. Значит, для ответа на вопрос задачи достаточно вычислить площади исходного и полученного треугольников и сравнить их. Если получим разные величины, то ответ на вопрос задачи отрицательный.

 

Ученики вычисляют площади равностороннего треугольника со стороной, равной 1, и прямоугольного треугольника с катетами, равными 1, сравнивают их, формируют ответ на вопрос задачи.

 

Учитель рассказывает о методе «перетягивания площадей», заключающемся в том, что если треугольник «перетянуть» за вершину по прямой, параллельной противолежащей стороне, то получим равновеликий ему треугольник.

 

Учитель: Какие вопросы вы хотели бы задать мне или, возможно, друг другу?

 

Ученики:

- Почему можно перетягивать треугольники?

- Зачем это можно делать (где использовать?

- Какие еще фигуры можно перетягивать, кроме треугольников?

 

Слайд 5.

 

Учитель организует работу в группах  и выступление каждой группы с отчетом о проделанной работе.

 

Ученики в группах обсуждают ответы на поставленные вопросы.

 

Группа 1. Обоснование применимости метода: метод основан на свойстве площадей треугольников: если треугольники имеют равные основания и равные высоты, то их площади равны (следует из основной формулы площади треугольника).

Группа 2. Примеры применения метода: решение нескольких ключевых задач (№№ 1-4 из раздаточного материала) с последующей защитой решения перед классом.

Группа 3. Расширение применения метода: перетягивание параллелограмма, трапеции и т.д. Формулирование условий «перетягивания».

Группа 4. Обобщение метода. В словаре ищут определение понятия «инвариант» и пытаются определить, какое отношение это понятие имеет к теме данного урока.

 

Слайды 6, 7-11, 12.

 

Учитель уточняет понятие «инвариант»: Как вы считаете, что является инвариантом в рассмотренных ситуациях?

 

Ученики: Площадь треугольника.

 

Учитель: Встречались ли вам такие геометрические преобразования, в которых также можно было заметить понятие инварианта?

 

Ученики:

- Преобразование подобия – углы.

- Симметрия – длины сторон и углы.

 

Учитель: А можно ли рассмотреть понятие инварианта в других предметах?

 

Учащиеся приводят примеры (физика, химия, информатика).

 

Учитель подводит итоги урока. Обращает внимание учеников на эволюцию приобретенных умений: от решения частной задачи через метод решения целого класса геометрических задач к формулированию общей идеи, которую можно применять для решения проблем в разных предметных областях.

 

Ученики делятся впечатлениями об уроке. Определяют, что нового они сегодня узнали. Формулируют, с какими трудностями столкнулись. Оценивают свою деятельность на уроке.

 

Учитель предлагает домашнее задание: задачи 5-7 из раздаточного материала. Для желающих – дополнительные задачи 1-5.

 

Ирина Каминская, гимназия им Басова города Воронежа, учитель математики, лауреат Всероссийского конкурса «Учитель года России-2014»

 

В прикрепленных файлах – презентация и раздаточный материал.

 

Фото из архива автора