В теме «Квадратные уравнения» фигурируют две формулы: само уравнение и формула его решения.  Лучше работать с приведенным квадратным уравнением – тогда они проще.


и

 

Первая формула «задает» известный всем график – параболу. Обычно показывают, что при изменении p и q парабола движется по координатной плоскости в формате параллельного переноса. Поэтому она может пересекать ось абсцисс в одной или в двух точках (что соответствует одному или двум решениям) или вообще ее не задевать (когда решений нет).

Раньше было невозможно построить пространственный график. Но теперь, используя подходящее программное обеспечение, например, Wolfram Mathematika, можно построить одновременно все решения уравнения на трехмерном графике, пользуясь второй из вышеприведенных формул.

Это верхняя часть графика:

 









А вот и нижняя:

 








Обе «детали» можно представить себе состоящими как бы из тончайшей фольги и соединить их в воображении друг с другом. Мы получаем нагляднейший обзор всех решений сразу. Видна и область, где решений не существует: она ограничена внутренней частью параболы



Трехмерный график можно подвигать на экране, перевернуть, изучить его свойства: они совсем не тривиальны. Например, можно предложить такую задачу: «Построить сечение графика плоскостью q=0. Ответ: две прямые х=0 и х=-р. Но ведь ни на одном из двух приведенных выше графиков их нет! Объясните, почему?».

Евгений Беляков