В те дни я и начал размышлять о сути математического знания, чтобы объяснить уже моим будущим ученикам, как решать задачи (я тогда оканчивал педвуз). Я осознал интересную особенность школьной математики. Вся она делилась на две части: теория и методы. Соответственно - задачи и теоремы, задачник и учебник. Но как они связаны между собой? Оказалось, каждая теорема - это как бы сплетение методов. Например, в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы, как известно, равен сумме квадратов катетов. Итак, дано: прямоугольный треугольник, две какие-то его стороны. По этим данным фрейм (так назовем элементарный метод, в данном случае - применение теоремы Пифагора) дает третью сторону. Фактически мы получаем один из методов нахождения длины отрезка. Если перебрать все теоремы, с помощью которых находится длина отрезка, то их можно все переписать на карточки и всю пачку фреймов собрать вместе. Так же и с другими теоремами.
- А теперь, - говорил я своим ученикам, - берем произвольную задачу и смотрим прежде всего на ее вопрос. Например, нам попалась задача с вопросом на нахождение длины отрезка. Тогда мы берем всю пачку фреймов и смотрим, нет ли там решения. И вот если решения нет, то мы сможем (иногда несколькими способами) перейти к другим фреймам. И дальше - перебираем следующие карточки-фреймы. То есть решение школьной задачи сводится к нахождению пути на графе, который представляет собой дерево решений.
Все это можно делать, грубо говоря, даже не задумываясь и проводя автоматический перебор фреймов, в результате чего будет получено решение любой, даже самой сложной, школьной задачи.
Возникает, разумеется, законный вопрос: для чего учить математику в школе? Нет принципиальной разницы между поиском цепочек фреймов и перебором шахматных вариантов. Всегда можно нажать кнопку и получить оптимальное решение любой задачи.
Но что же такое «человеческая математика»? Чем она отличается от «машинной»? И вот тут нужно вспомнить те самые лекции Андрея Николаевича Колмогорова (о чем я написал сначала). Мы, его слушатели, попали на самую границу неизведанного, называемую «фронтир». Это место, где нет никаких знаний, никаких методов, никаких теорем. Полная пустота и темнота. Наши пачечки фреймов не помогают. Не за что ухватиться рукой. Ничего не видно. Никто из людей тут не был. А если и был, то тоже ничего не увидел. И постепенно непонятным, таинственным образом ум человеческий (который в нас) создает ви́дение реальности, какая она есть - абсолютно неожиданная, как правило, прекрасная. И вот это и есть «человеческая» математика.
Архимед. Великий древнегреческий механик и математик. Мы помним его по знаменитому крику: «Эврика! Открыл!», когда он голый выскочил из ванны, сообразив, что практически объем предмета можно вычислить по количеству вытесненной предметом воды. Но он открыл и многое другое. Архимед жил в Сиракузах. Там же и умер от руки римского солдата, которого осмелился попросить не топтать его чертежи (нарисованные на земле). После смерти Архимеда быстро забыли, и могила его была потеряна. Есть лишь место, на котором другой римлянин Цицерон через сто с лишним лет нашел некий надгробный камень. На камне был изображен цилиндр с вписанным в него шаром. Он сразу понял, что это и есть могила гения, так как одно из его замечательных открытий было соотношение объемов цилиндра и вписанного в него шара. Кстати, какое? Не помните? Отличная геометрическая задача. Ответ: 2/3. Почему 2/3? Видимо, сказывается непонятная простота реальности. А кто ее создал и зачем - это тайна.
- Стоп! - скажете вы. - Но не все же гении! Не всем совершать открытия. Мы вообще интересуемся не математикой, а литературой (историей, философией, пивом, рок-музыкой и т. д.) Нам-то это ЗАЧЕМ?
Придется немного вернуться назад. Все взрослые люди имеют дело с деньгами. Ясно, что того, кто не умеет считать, легко обмануть. Но счет денег в принципе непростая вещь. Порой надо уметь вычислять с трехзначными числами в уме. Этого почти никто не умеет, а калькулятор не всегда под рукой. Значит, нужно уметь проводить приближенные расчеты, есть теория таких расчетов, ее даже в школе проходят. Но именно проходят. То есть мимо.
- Нет, я не об этом! Пусть, да, нужно уметь считать, но зачем всякие мудрые теории, тригонометрия, интегральное исчисление, векторы? В жизни же этого нет.
И я вынужден сказать то, за что меня наверняка осудит, наверное, каждый коллега. Все эти теории действительно практически не нужны. Да! Именно! Может быть, понадобится формула объема цилиндра, но не соотношение его с объемом вписанного шара… Или как рассчитать параметры какого-нибудь треугольника по углу и двум сторонам. Формула - на обложке, доказательства же жизнь не требует. Тогда для чего 11 лет мороки?
В принципе знания школьного курса, если не идешь по этой лестнице дальше, не нужны. Могли бы быть какие-нибудь другие теории. Например, чем плоха теория графов? Очень простая и красивая теория. Кстати, может быть, и пригодилась бы гораздо чаще, чем тригонометрия. Или же теория конечных групп? Почему нет? Все это приятные, легкие и очень красивые математические теории. Или теория алгоритмов на примере машины Поста. Или теория множеств. Все это отлично подошло бы. Так для чего мы вообще что-то детям преподаем?
Истинная роль, скажу я вам, школьной математики не знания. Знания, скорее всего, не понадобятся. Ну разве что при изучении физики кое-что пригодится. Но, признаемся, в физике, особенно школьной, используется 1% школьной математики. Несколько формул и ни одного доказательства. Даже эти векторы, которые в физике натыканы всюду, они в школьной геометрии, как аллигатор в березовой чаще. То есть просто не нужны. Они из XIX века, а все, что изучает школьная геометрия, - это III век нашей эры, Александрия, Евклид, «Начала». Истинная цель школьной математики, повторяю, не знания, и не умения, и не навыки. А общая логическая культура.
Возьмем любую - или почти любую - математическую книгу. Для ее чтения не требуются знания. В каждой уважающей себя монографии все теоремы выводятся с самого начала, с аксиом. Вот только читать математическую книгу трудно, для этого требуется то, что называется «математическая (логическая) культура». А это те же логические навыки, что и в Древней Греции. То есть Евклид был бы способен читать современную математическую литературу, хотя он о нашей математике ничего не знает. Но у него есть главное - умение рассуждать, не перескакивая через тонкости, чувствовать импликации и конъюнкции, даже не зная этих слов. В математике учат именно этому, хотя на поверхности учат другому.
Человек оканчивает школу. Он не математик, а обычный, нормальный человек: журналист, водитель авто, продавец, токарь на заводе… Но он прошел тренинг рассуждений. И это делает его гражданином, потому что в сложной информационной среде он защищен от лжи, подобно тому как антивирусной программой компьютер защищен от вирусов. Его труднее обмануть. Но ведь именно этот человек пойдет голосовать, и со всех сторон его будут пытаться превратить в марионетку, которая ставит галочки на бюллетене в нужных местах. Он когда-то ставил индексы в тригонометрической формуле. Ставил их правильно, его учили правде. Математической правде. Его учили логически правильно мыслить. Поэтому после выпускного звонка мы за этого паренька или девушку спокойнее. Именно поэтому математика есть демократическая ценность. Скажу больше: нет демократии без математики. Не случайно, по утверждению математика Арнольда, в США деление 111 на 3 в уме сочли официально национальной ценностью Америки.
Но и это еще не все. Можно не дать обмануть себя в сложной современной информационной среде, но тот, кто привык к аккуратным логическим рассуждениям, не сможет обмануть и сам себя. Он будет правдив со своей совестью, то есть станет Личностью в полном смысле слова… Совестью нашего народа были Андрей Сахаров, Александр Есенин-Вольпин, Александр Солженицын (кстати, учитель математики). Все это далеко не случайно.
…Андрей Николаевич Колмогоров закончил лекцию и положил мел на стол. И вот я подхожу к нему, потрясенный, и спрашиваю: «Неужели может оказаться, что проблема неразрешима и мы навсегда останемся в неведении?»
На самом деле я никуда не подходил, я струсил. Но давайте все-таки представим, что подошел. Я никогда не занимался спиритизмом, но в данном случае почти уверен, что его ответ был бы таким: «В жизни бывают очень сложные обстоятельства. Трудные, нерешаемые задачи. И советчиков нет. И помощи ждать неоткуда. Но надо решать. Это долг человека - решать нерешаемое. Методов нет. Теорем нет. А решать надо. Это очень трудно: творить. Надо сильно напрягаться, чтобы все-таки решить свою жизненную задачу. Это не зависит от способностей, зависит от степени самоотдачи».
Именно этому учит (ну или должна учить) математика.

К сведению

Генеральная ассамблея Международного математического союза выбрала Россию для проведения Всемирного конгресса математиков в 2022 году. Мероприятие пройдет в Санкт-Петербурге. Помимо докладов и обсуждений на конгрессе объявляют имена лауреатов премий за достижения в математике, а также за вклад в популяризацию этой науки.
Напомним, что самая масштабная встреча ведущих математиков мира проводится раз в 4 года. Начиная с 1897 года местом проведения конгресса выступали самые разные города, а в 1966 году сильнейшие математики мира собрались в СССР.

Цитата

«К сожалению, «модернизация» школьного курса математики часто практически производится без надлежащего контакта с преподаванием физики. Крайнее проявление такой независимости я мог в прошлом году наблюдать во Франции. В институте Парижского университета, занимающемся реформой школьного обучения математике, мне просто ничего не могли сказать о том, в каком отношении проводимые ими преобразования находятся к соответствующим планам физиков».
А.Н.КОЛМОГОРОВ,
из статьи «Современная математика и математика в современной школе», 1971 год


Республика Крым